第6节指数与指数函数
【课标要求】（1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质；（2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象；（3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.
知识点一指数幂的运算
1.根式
（1）如果xn＝a，那么叫做a的n次方根；
（2）式子na叫做，这里n叫做根指数，a叫做被开方数
（3）（na）n＝.当n为奇数时，nan＝；当n为偶数时，na
2.有理数指数幂
概
念
正分数指数幂：amn
a＞0，m，n∈N*，n＞1
负分数指数幂：a－mn＝1
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
运算
性质
aras＝ar＋s
a＞0，b＞0，r，s∈Q
（ar）s＝ars
（ab）r＝arbr
（1）〔多选〕（人A必修一P109习题4题改编）下列计算正确的是（）
A.12(-
B.xa－1ya·（4y
C.a23b12－3a12b13÷
D.（1－2）212－（1＋2）－1＋（1＋2
（2）化简3a72·a－3÷3a
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规律方法
指数幂的运算
练1〔多选〕（北师必修一P82习题B组3题改编）已知a＋a－1＝3，则下列选项正确的是（）
A.a2＋a－2＝7 B.a12－a
C.a12＋a－12＝±5 D.a
知识点二指数函数的图象与性质
1.指数函数的概念
函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数.
2.指数函数的图象与性质
底数
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域为，值域为
图象过定点
当x＞0时，恒有y＞1；当x＜0时，恒有0＜y＜1
当x＞0时，恒有0＜y＜1；当x＜0时，恒有y＞1
函数
函数
结论（1）函数y＝ax与y＝1ax（a＞0，且a≠1）的图象关于y
（2）画指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象，应抓住三个关键点：（1，a），（0，1），－1
（3）底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”.
角度1指数函数的图象及应用
（1）（苏教必修一P151习题12题改编）函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（）
A.a＞1，b＜0 B.a＞1，b＞0
C.0＜a＜1，b＞0 D.0＜a＜1，b＜0
（2）（人A必修一P120习题9题改编）函数y＝｜3x－1｜与直线y＝m有两个不同的交点，则实数m的取值范围是.
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规律方法
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
练2（1）（2025·德州调研）函数y＝x｜x｜ex
（2）〔多选〕（2025·海门一模）已知实数a，b满足等式2a＝3b，下列关系式中可能成立的是（）
A.0＜b＜a B.a＜b＜0
C.b＜a＜0 D.a＝b
角度2指数函数的性质及应用
（1）若2x2+1≤14x－2，则函数y＝
A.18，2
C.－∞，18 D.[
（2）（2023·天津高考3题）若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为（）
A.c＞a＞b B.c＞b＞a
C.a＞b＞c D.b＞a＞c
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规律方法
1.比较指数式的大小的方法
（1）能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
（2）不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.
2.指数方程（不等式）的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
练3（1）（2025·临泉模拟）若ea＋πb＞e－b＋π－a，下列结论一定成立的是（）
A.a＋b≤0 B.a－b≥0
C.a－b≤0 D.a＋b≥0
（2）（2025·银川模拟）已知函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）在区间[1，2]上的最大值比最小值大a2，则a的值为
提能点
指数型函数性质的综合问题
〔多选〕（2025·长春模拟）已知函数f（x）＝2x2x－1+1
A.函数f（x）是奇函数
B.函数f（x）是增函数
C.函数f（x）的值域为（0，2）
D.函数f（x）的图象关于（1，1）对称
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