2026版步步高大一轮高考数学复习第四章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制和三角函数的概念
考试要求1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
【知识梳理】
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.
(2)分类eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义
前提
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
定义
正弦
y叫做α的正弦函数，记作sinα，即sinα＝y
余弦
x叫做α的余弦函数，记作cosα，即cosα＝x
正切
eq\f(y,x)叫做α的正切函数，记作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)
三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r0)，那么sinα＝eq\f(y,r)；cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0).
[常用结论与微点提醒]
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l＝eq\f(nπR,180)，S＝eq\f(nπR2,360).
3.象限角
4.轴线角
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.()
(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.()
(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.()
(4)若α为第一象限角，则sinα＋cosα1.()
答案(1)×(2)×(3)√(4)√
解析(1)锐角的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).
(2)第一象限角不一定是锐角.
2.(必修一P176T7(2))已知α是第一象限角，那么eq\f(α,2)是()
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第一或二象限角 D.第一或三象限角
答案D
解析易知2kπ＜α＜eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
故kπ＜eq\f(α,2)＜eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z，
所以eq\f(α,2)是第一或第三象限角.
3.(必修一P180T3改编)已知角θ的终边经过点P(－12，5)，则sinθ＋cosθ＝________.
答案－eq\f(7,13)
解析由三角函数的定义可得sinθ＋cosθ＝eq\f(5,\r(（－12）2＋52))＋eq\f(－12,\r(（－12）2＋52))＝eq\f(5,13)－eq\f(12,13)＝－eq\f(7,13).
4.已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________.
答案12π
解析∵α＝30°＝eq\f(π,6)，l＝αr，∴r＝eq\f(2π,\f(π,6))＝12，
∴扇形面积S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×2π×12＝12π.
考点一象限角及终边相同的角
例1(1)(多选)下列命题正确的是()
A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}
B.终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}
C.第三象限角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|π＋2kπ≤α≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))
D.在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
答案AD
解析A项显然正确；
B中，终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}，角度与弧度不能混用，故