2026版步步高大一轮高考数学复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第3节二项式定理第3节二项式定理
考试要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
【知识梳理】
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；
(2)通项：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，k＝0，1，2，…，n，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).
2.二项式系数的性质
性质
性质描述
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)
增减性
二项式系数Ceq\o\al(k,n)
当k＜eq\f(n＋1,2)(n∈N*)时，是递增的
当k＞eq\f(n＋1,2)(n∈N*)时，是递减的
二项式系数
最大值
当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与相等且取得最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.
(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.
[常用结论与微点提醒]
(a＋b)n的展开式形式上的特点：
(1)项数为n＋1；
(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n；
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n；
(4)二项式系数从Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n).
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)Ceq\o\al(k,n)an－kbk是二项展开式的第k项.()
(2)二项展开式中，二项式系数最大的项为中间一项.()
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.()
(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.()
答案(1)×(2)×(3)√(4)√
解析二项展开式中Ceq\o\al(k,n)an－kbk是第k＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确.
2.(选修三P34T1改编)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是()
A.74 B.121 C.－74 D.－121
答案D
解析将(1－x)5，(1－x)6，(1－x)7，(1－x)8中含x3项的系数分别相加，即得展开式中含x3项的系数为Ceq\o\al(3,5)(－1)3＋Ceq\o\al(3,6)(－1)3＋Ceq\o\al(3,7)(－1)3＋Ceq\o\al(3,8)(－1)3＝－121.
3.(选修三P38T3改编)在(1－2x)10的展开式中，各项系数的和是________.
答案1
解析令x＝1，可得各项系数的和为(1－2)10＝1.
4.(选修三P31T4改编)(1＋x＋x2)(1－x)10的展开式中x4的系数为________.
答案135
解析∵(1－x)10展开式的通项为
Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)(－x)r，
令r＝4，3，2分别得展开式含x4，x3，x2的系数为Ceq\o\al(4,10)，－Ceq\o\al(3,10)，Ceq\o\al(2,10).故展开式中含x4的系数为
Ceq\o\al(4,10)－Ceq\o\al(3,10)＋Ceq\o\al(2,10)＝135.
考点一展开式中的通项
角度1求二项展开式的特定项
例1(1)(2023·天津卷)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x3－\f(1,x)))eq\s\up12(6)的展开式中，x2的系数是________.
答案60
解析法一二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x3－\f(1,x)))eq\