2026版步步高大一轮高考数学复习讲义第一章§1.1集合
§1.1集合
课标要求1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：、、.?
(2)元素与集合的关系是或，用符号或表示.?
(3)集合的表示法：、、.?
(4)常见数集的记法
集合
非负整数
集(或自
然数集)
正整
数集
整数集
有理
数集
实数集
符号
N*(或N+)
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作(或B?A).?
(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就称集合A是集合B的真子集，记作(或BA).?
(3)相等：若A?B，且，则A=B.?
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为?.空集是的子集，是的真子集.?
3.集合的基本运算
表示
运算
集合语言
图形语言
记法
并集
交集
补集
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3=x}，用列举法表示为{-1，0，1}.()
(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x，y)|y=x2+1}.()
(3)若1∈{x2，x}，则x=-1或x=1.()
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)?(A∪B).()
2.(2025·潍坊模拟)已知集合A={x|(x-1)(x+2)=0}，B={x|-32x-13}，则A∩B等于()
A.{-2，1} B.(-2，1)
C.{1} D.(-1，2)
3.(2024·长沙模拟)已知集合M={x|x1}，N={x|x21}，则()
A.M=N B.M?N
C.N?M D.M∩N=?
4.已知集合M={x|-1x3}，N={x|x≥a，a∈R}，若M∩N=M，则实数a的取值范围是.?
1.掌握有限集子集个数的结论
若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n-1)个，非空子集有(2n-1)个，非空真子集有(2n-2)个.
2.灵活应用两个常用性质
(1)?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).
(2)?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).
3.牢记两个注意点
(1)在应用条件A∪B=B?A∩B=A?A?B时要树立分类讨论的思想，将集合A是空集的情况优先进行讨论.
(2)在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制.
题型一集合的含义与表示
例1(1)(多选)下列各组中M，P表示不同集合的是()
A.M={3，-1}，P={(3，-1)}
B.M={(3，1)}，P={(1，3)}
C.M={y|y=x2+1，x∈R}，P={x|x=t2+1，t∈R}
D.M={y|y=x2-1，x∈R}，P={(x，y)|y=x2-1，x∈R}
(2)已知m∈R，n∈R，若集合m，nm，1={m2，m+n，0}，则m2025
A.-2 B.-1 C.1 D.2
思维升华解决集合含义问题的关键点
(1)确定集合中的代表元素.
(2)确定元素的限制条件.
(3)理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾.
跟踪训练1(1)已知集合A={-1，a2-2a+1，a-4}，若4∈A，则a的值可能为()
A.-1，3 B.-1 C.-1，3，8 D.-1，8
(2)(多选)非空集合A具有如下性质：①若x，y∈A，则xy∈A；②若x，y∈A，则x+y∈A
A.-1?A
B.20242025∈
C.若x，y∈A，则xy∈A
D.若x，y∈A，则x-y∈A
题型二集合间的基本关系
例2(1)(2025·青岛模拟)已知全集U=R，集合A，B满足A?(A∩B)，则下列关系一定正确的是()
A.A=B B.B?A
C.A∩(?UB)=? D.(?UA)∩B=?
(2)已知M={x|-2≤x≤2}，A={x|1-a≤x≤1+a}，且A∩M=A，则实数a的取值范围为.?
思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化