2026版步步高大一轮高考数学复习讲义第四章§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式
课标要求1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α+cos2α=1，sinαcosα=tanαα≠π2+
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：.?
(2)商数关系：?.?
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α
(k∈Z)
π+α
-α
π-α
π2-
π2+
正弦
sinα
余弦
cosα
正切
tanα
-tanα
口诀
奇变偶不变，符号看象限
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.()
(2)若α，β∈R，则sin2α+cos2β=1.()
(3)若α∈R，则tanα=sinαcosα恒成立.
(4)若sin(kπ-α)=13(k∈Z)，则sinα=13.(
2.(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是()
A.sin(-x)=sinx B.sin3π2-
C.cosπ2+x=-sinx D.cos(
3.若sinxcosx=18，则cosx-sinx
A.±32 B.
C.-32 D.±
4.已知α是第三象限角，sinα=-35，则tanα=
1.熟记同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α=1-cos2α=(1+cosα)(1-cosα)；
cos2α=1-sin2α=(1+sinα)(1-sinα)；
(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα.
(2)sinα=tanαcosαα≠
(3)sin2α=sin2α
cos2α=cos2α
2.谨防两个易误点
(1)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
(2)“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化，应用时要注意
题型一同角三角函数基本关系式
例1(1)(2024·广州模拟)已知sinα-cosα=22，则tanα+1
A.-14 B.-4 C.14 D
(2)已知tanα=-3，则sin
A.-34 B.34 C.310
思维升华(1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα=tan
可以实现角α的弦切互化.
(2)形如asinα+bcosαcsinα+dcosα，asin2α+b
(3)对于sinα+cosα，sinαcosα，sinα-cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα，可以知一求二.
跟踪训练1(1)(2025·太原模拟)已知sinα+cosα=63，0απ，则sinα-cosα
A.-233 B.233 C.-3
(2)(2024·贵阳模拟)已知tanα=2，则1sin2α=
题型二诱导公式
例2(1)若sin(π+α)=13，则sin(π-α)+cosπ
A.-23 B.23 C.223
(2)(2025·沧州模拟)已知cosπ4+x=1
A.-13 B.13 C.223
思维升华诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
跟踪训练2(1)已知sinπ3+2α=2
A.53 B.-23 C.23 D
(2)tan(π-α)cos(2π-α
题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例3(1)(2024·商洛模拟)已知sin(5π+α)=5sin9π2+α，则sin2α+sin
A.-926 B.1126 C.1526
(2)已知α∈0，π2，β∈π2，π，且sinπ2+α=3cosβ-π2，
思维升华(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响.
跟踪训练3(1)若sin(3π+α)=12，α∈π，3π2
A.-12 B.-32 C.-3 D.
(2)(多选)已知sinx+π4=-55，
A.cosx+π
B.tanx+
C.cosπ4-
D.sinπ4-
答案精析
落实主干知识
1.(1)sin2α+cos2α=1
(2)sinαcosα=tan
2.-sinα-sinαsinαcosαcosα
-cosαcosα-cosαsinα
-sinαtanα-tanα
自主诊断
1.(1)×(2