2026版步步高大一轮高考数学复习讲义第十章§10.7概率、统计与其他知识的交汇问题§10.7概率、统计与其他知识的交汇问题

重点解读有关概率、统计与其他知识相交汇的考题，能体现“返璞归真，支持课改；突破定势，考查真功”的命题理念，是每年高考的必考内容.近几年将概率、统计问题与数列、函数、导数结合，成为创新问题.

题型一概率、统计与数列的综合问题

例1(2025·广州模拟)将4个面上分别写有数字1，2，3，4的一个正四面体在桌面上连续独立地抛n次(n为正整数)，设X为与桌面接触的数字为偶数的次数，p(0p1)为抛正四面体一次与桌面接触的数字为偶数的概率.

(1)当n=5时，若正四面体的质地是均匀的，求X的数学期望和方差；

(2)若正四面体有瑕疵，即p≠12

①设pn是抛掷正四面体n次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，求证：pn=p+(1-2p)pn-1(n≥2)；

②求抛掷正四面体n次中与桌面接触的数字为偶数出现偶数次的概率.

思维升华概率问题与数列的交汇，综合性较强，主要有以下类型：

(1)求通项公式：关键是找出概率Pn或均值E(Xn)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)，求出通项公式.

(2)求和：主要是数列中的倒序相加法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和.

(3)利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限.

跟踪训练1(2024·黄山质检)学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了米饭套餐，则第2天选择米饭套餐的概率为13；若他前1天选择了面食套餐，则第2天选择米饭套餐的概率为23.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为

(1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；

(2)记该同学开学第n(n∈N*)天中午选择米饭套餐的概率为Pn.证明：当n≥2时，Pn≤1427

题型二概率、统计与导数的综合问题

例2(2024·龙岩模拟)某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量指标值不小于80的产品称为A等品，其他产品称为B等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.

(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s的近似值为11，用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；

(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ-σξμ+σ)≈0.6827，P(μ-2σξμ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σξμ+3σ)≈0.9973)

(2)①从样本的质量指标值在[45，55)和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；

②该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A等品芯片的利润是m(1m24)元，一件B等品芯片的利润是ln(25-m)元，根据(1)的计算结果，试求m的值，使得每箱产品的利润最大.

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思维升华在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率.决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式或数列的有关性质去实现.

跟踪训练2为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产.

(1)现从试产的新产品中取出了5件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对5件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了X次，求随机变量X的分布列与期望；

(2)设每件新产品为次品的概率都为p(0p1)，且各件新产品是否为次品相互独立.记“从试产的新产品中随机抽取50件，其中恰有2件次品”的概率为f(p)，问p取何值时，f(p)最大.

答案精析

例1(1)解因为正四面体的质地是均匀的，p为抛掷正四面体一次与桌面接触的数字为偶数的概率，所以p=24=

进一步得，X~B5，

所以E(X)=np=5×12=

D(X)=np(1-p)=5×12×

所以X的数学期望和方差分别为52和5

(2)①证明因为pn是抛正四面体n次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，

所以pn-1是抛正四面体(n-1)次中与