2026版步步高大一轮高考数学复习讲义第三章进阶篇不等式恒(能)成立问题进阶2参数半分离与主元变换进阶2参数半分离与主元变换
题型一参数半分离
例1若不等式alnx-x+1≤0恒成立，求实数a的取值范围.
思维升华在半分离时，要调节参数a与x的位置，使f(x)与g(x)的作图更方便，一般分为一条动直线与一条曲线.
跟踪训练1设函数f(x)=2lnx，x0，-x2-2x，x≤0，若不等式f(
题型二主元变换
例2已知不等式lnx-12x2+bx+c≤0对任意的x∈(0，+∞)，b∈0，32恒成立，求
思维升华一些导数大题经常会含有多个变量，主要解题思路是以x为主元进行求解，但有时解题过程较为复杂，此时，有的题目就可以以其他变量为主元进行求解.
跟踪训练2已知函数f(x)=2ax+bx-1-2lnx，对任意a∈[1，3]和任意x∈(0，+∞)，f(x)≥2bx-3恒成立，求实数b的取值范围.
答案精析
例1解∵不等式alnx-x+1≤0恒成立，
∴alnx≤x-1恒成立，x0，
当a≤0时，显然不恒成立，
当a0时，原不等式等价于lnx≤1a(x-1
由于y=lnx在x=1处的切线方程为y=x-1，
∴要使lnx≤1a(x-1
只需1a=1，即a=1
∴a的取值范围为{1}.
跟踪训练12
解析作出函数f(x)的图象，如图，
直线y=ax+2恒过定点(0，2)，由图可知a0，
当直线y=ax+2与y=-x2-2x相切时，
联立y=ax+2，y=-x2-2x可得x
令Δ=(a+2)2-8=0，
解得a=-2+22或a=-2-22(舍去)；
当直线y=ax+2与曲线y=2lnx相切时，
设切点P(x0，2lnx0)，
则曲线在点P处的切线方程为y-2lnx0=2x0(x-x
又切线过点(0，2)，
解得x0=e2，此时a=2x0=2e2，所以
例2解令f(b)=x·b+lnx-12x2+c，b∈0，
由于x0，所以函数f(b)在0，3
所以f(b)f32=32x+lnx-12x2+c
即c≤12x2-32x-lnx，x∈(0，+
令g(x)=12x2-32x-ln
则g(x)=x-32-
=2x2-3
当0x2时，g(x)0，当x2时，g(x)0，
所以g(x)在(0，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，
所以c≤g(x)min=g(2)=-1-ln2，
所以c的取值范围为(-∞，-1-ln2].
跟踪训练2解由题知对任意a∈[1，3]，x∈(0，+∞)，2ax+bx-1-2lnx≥2bx-3恒成立，
即2x·a-bx-2lnx+2≥0恒成立，
令g(a)=2x·a-bx-2lnx+2，a∈[1，3]，
则g(1)≥0，
即2x-bx-2lnx+2≥0，
所以b≤2-2lnxx+
令h(x)=2-2lnxx+2x，x∈(0，
则h(x)=-2·2-lnx
当0xe2时，h(x)0，
当xe2时，h(x)0，
所以h(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，+∞)上单调递增，
所以h(x)min=h(e2)=2-2e
所以b≤2-2e
故b的取值范围为-∞，2-
端点效应法是一种必要性探路法，是指对某些与函数有关的恒成立问题，通过选取函数定义域内的某些特殊值，先得到一个必要条件，初步获得参数的范围，再在该范围内进行讨论，或去验证其充分性，进而得到参数的准确范围的方法.
1.如图(1)，如果连续函数f(x)在区间[a，b]上单调，f(x)≥0恒成立，则f(a)≥0且f(b)≥0.
2.一阶端点效应：如图(2)，如果连续函数f(x)在某一点x0处的函数值f(x0)恰好为零，则当x≥x0时，f(x)≥0成立的一个必要条件为端点x0处的导数值f(x0)≥0.因为如果f(x0)0，那么函数会在x0右侧的一个小区间内先单调递减，此时函数f(x)在x≥x0时不恒为非负值，不满足要求，如图(3).
这个方法把某个区间上函数的恒成立问题转化为判断端点处的导数值符号，这就是端点效应.
类似地，如果连续函数f(x)在某一点x0处的函数值f(x0)恰好为零，当xx0时，f(x)0成立的一个必要条件为x0处的导数值f(x0)0.
3.二阶端点效应：如图(4)，如果连续函数f(x)在区间[a，b]上，f(x)≥0恒成立，且f(a)=0，f(a)=0，则f″(a)≥0.
端点效应的核心思想是必要性探路，充分性护航.我们在解决一类恒成立问题时，可以利用端点处需满足的必要条件缩小参数的取值范围，而往往得到的范围即为所求，再去做充分性论证即可.
题型一一阶端点效应
例1设函数f(x)=ln(1+x)，g(x)=xf(x)，x≥0，其中f(x)是f(x)的导函数.若f(x)≥ag