2026版步步高大一轮高考数学复习讲义第三章§3.5指对同构问题§3.5指对同构问题
重点解读把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构、形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法.同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题.
题型一双变量地位同等同构
例1若对0x1x2a都有lnx2x1x1x22x
A.1 B.2
C.e D.2e
思维升华含有地位同等的两个变量x1，x2或x，y或a，b的等式或不等式，如果进行整理(即同构)后，等式或不等式两边具有结构的一致性，往往暗示应构造函数，应用函数单调性解决.
跟踪训练1若0x1x21，则下列不等式正确的是()
A.x1lnx1x2lnx2 B.x1lnx1x2lnx2
C.x2lnx1x1lnx2 D.x2lnx1x1lnx2
题型二指对同构法的理解
指对同构的常用形式
(1)积型：aea≤blnb，一般有三种同构方式：
①同左构造形式：aea≤lnbelnb，构造函数f(x)=xex；
②同右构造形式：ealnea≤blnb，构造函数f(x)=xlnx；
③取对构造形式：a+lna≤lnb+ln(lnb)(a0，b1)，构造函数f(x)=x+lnx.
(2)商型：eaa≤
①同左构造形式：eaa≤elnblnb，构造函数
②同右构造形式：ealnea≤blnb，构造函数
③取对构造形式：a-lna≤lnb-ln(lnb)(a0，b1)，构造函数f(x)=x-lnx.
(3)和、差型：ea±ab±lnb，一般有两种同构方式：
①同左构造形式：ea±aelnb±lnb，构造函数f(x)=ex±x；
②同右构造形式：ea±lneab±lnb，构造函数f(x)=x±lnx.
例2(1)(多选)若ea+ab+lnb(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是()
A.alnb B.alnb
C.eab D.eab
(2)(2025·宜春模拟)在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于a的方程aea-2=e4和关于b的方程b(lnb-2)=e3λ-1(a0，be2)可化为同构方程，则ab的值为.?
思维升华利用恒等式x=lnex和x=elnx，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由构造的函数的单调性进行研究.
跟踪训练2(多选)对不等式ax+eaxln(bx)+bx进行指对同构时，可以构造的函数是()
A.f(x)=lnx+x B.f(x)=xlnx
C.f(x)=x+ex D.f(x)=x
题型三同构法的应用
例3(1)设实数k0，对于任意的x1，不等式kekx≥lnx恒成立，则k的最小值为.?
(2)(2025·衡阳模拟)已知m是方程xeex-2+(e-1)lnx=2的一个根，则e2-me-1
A.1 B.2 C.3 D.5
思维升华常见的同构函数有：①f(x)=lnxx；②f(x)=xlnx；③f(x)=xex；④f(x)=
其中①④可以借助lnxx=lnxelnx=tet，②③可以借助xex=(lnex)ex=(lnt)
跟踪训练3(1)(2024·吕梁模拟)若关于x的不等式ea+x·lnxx2+ax对?x∈(0，1)恒成立，则实数a的取值范围为()
A.(-∞，0] B.[-1，0]
C.[-1，+∞) D.[0，+∞)
(2)已知e为自然对数的底数，a，b均为大于1的实数，若aea+1+bblnb，则()
A.bea+1 B.bea+1
C.abe D.abe
答案精析
例1B[由lnx2x1x1x2
0x1x2a，
得x1x2(lnx2-lnx1)2x2-2x1，
则lnx2-lnx12x
即lnx2-lnx12x1-
有lnx2+2x2lnx1+
令f(x)=lnx+2x(x0
则f(x2)f(x1)，
所以f(x)=1x-2x2
令f(x)0?x2，
令f(x)0?0x2，
所以函数f(x)的单调递增区间为(2，+∞)，单调递减区间为(0，2)，
所以当0x1x22时，f(x2)f(x1)恒成立，
所以0a≤2，故a的最大值为2.]
跟踪训练1C[令f(x)=xlnx，则f(x)=1+lnx，
当0x1时，f(x)的正负不能确定，故x1lnx1与x2lnx2的大小不能确定，故选项A，B错误；
令g(x)=lnxx，则g(x)=
当0x1时，g(x)=1-lnxx20，则g(x)在(0
因为0x1x21，
所以g(x1)g(