2026版步步高大一轮高考数学复习讲义第二章§2.4函数的周期性和对称性§2.4函数的周期性和对称性
课标要求1.了解函数的周期性及其几何意义.2.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.3.会依据函数的性质进行简单的应用.
1.函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且，那么函数y=f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.?
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个就叫做f(x)的最小正周期.?
2.奇函数、偶函数的对称性
(1)若函数y=f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，则函数的图象关于直线x=a对称；
(2)若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x)，则函数的图象关于点对称.?
(3)若f(x+a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为；若f(x+a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为.?
3.两个函数图象的对称
(1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于对称；?
(2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于对称；?
(3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于对称.?
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期.()
(2)若函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x-1)的图象关于点(1，0)对称.()
(3)若函数y=f(x+1)是偶函数，则函数y=f(x)的图象关于直线x=-1对称.()
(4)若函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)，则f(x)的图象关于直线x=2对称.()
2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x∈[-1，1]时，f(x)=x2+1，则f(2024.5)等于()
A.1716 B.54 C.2
3.下列函数与y=ex关于直线x=1对称的是()
A.y=ex-1 B.y=e1-x
C.y=e2-x D.y=lnx
4.已知函数y=f(x)的图象经过点P(1，-2)，则函数y=-f(-x)的图象必过点.?
1.熟记函数周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x+a)=-f(x)，则T=2|a|；
(2)若f(x+a)=1f(x)，则
(3)若f(x+a)=-1f(x)，则T
2.熟记对称性与周期性之间的三个常用结论
(1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x=a和x=b对称，则函数f(x)的周期为T=2|a-b|；
(2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为T=2|a-b|；
(3)若函数f(x)的图象关于直线x=a和点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为T=4|a-b|.
题型一函数的周期性
例1(1)若偶函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0，当x∈(0，1)时，f(x)=x2+1，则f7
A.2 B.74 C.54 D
(2)已知f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x-2)是偶函数，当0≤x≤2时，f(x)=x2-4x，则当6≤x≤8时，f(x)的解析式为()
A.f(x)=-x2-4x
B.f(x)=x2-16x+60
C.f(x)=x2-12x+32
D.f(x)=-x2+12x-32
思维升华(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
跟踪训练1(多选)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x)，当x∈[0，3]时，f(x)=x2-3x，则下列结论正确的是()
A.f(x+6)=f(x)
B.当x∈[-6，-3]时，f(x)=x2-3x-6
C.f(2023)+f(2025)=f(2024)
D.函数f(x)的一条对称轴为直线x=3
题型二函数的对称性
命题点1自对称中的轴对称
例2(多选)设f(x)是R上的奇函数，且对?x∈R，都有f(2-x)=f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)=x2，则下列说法正确的是()
A.f(x)在[3，5]上单调递增
B.f(x)的最大值是1，最小值是0
C.直线x=1是函数f(x)的一条对称轴
D.当3≤x≤4时，f(x)=-(x-4)2
命题点2自对称中的中心对称
例3(多选)下列说法中，正确的是()
A.函数f(x)=