2026版步步高大一轮高考数学复习讲义第二章§2.2函数的单调性与最值§2.2函数的单调性与最值
课标要求1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用.
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定
义
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I?D，如果?x1，x2∈I
当x1x2时，都有，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增，
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数
当x1x2时，都有，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减，?
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图
象
描
述
自左向右看图象是的
自左向右看图象是的
(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间I上或，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间.?
2.函数的最值
前提
一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
条件
(1)?x∈D，都有；?
(2)?x0∈D，使得?
(1)?x∈D，都有；?
(2)?x0∈D，使得?
结论
M是函数y=f(x)的最大值
M是函数y=f(x)的最小值
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)满足f(-3)f(2)，则f(x)在[-3，2]上单调递增.()
(2)若函数f(x)在(-2，3)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为(-2，3).()
(3)若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值.()
(4)函数y=1x的单调递减区间是(-∞，0)∪(0，+∞).(
2.下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递增的是()
A.y=-x+1 B.y=(x-1)2
C.y=|lnx| D.y=x
3.函数y=-1x
A.-13 B.-
C.-1 D.不存在
4.函数f(x)是定义在[0，+∞)上的减函数，则满足f(2x-1)f13的x的取值范围是
1.熟记与函数单调性有关的常用结论
(1)若?x1，x2∈I(x1≠x2)，则
①f(x1)-f(x2)x1-x20(或(x1-x2)[f(x1
②f(x1)-f(x2)x1-x20(或(x1-x2)[f(x1
(2)y=x+1x的单调递增区间为(-∞，-1]和[1，+∞)，单调递减区间为(-1，0)和(0，1)
(3)在区间I上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.
2.解题时谨防以下易误点
(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示.
(2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域.
(3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.
(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N?M.
题型一确定函数的单调性
命题点1函数单调性的判断
例1(多选)下列说法中，正确的是()
A.函数y=e-x-1x2在(-
B.若f(x)，g(x)都是R上的增函数，则h(x)=f(x)+g(x)也是R上的增函数
C.函数y=2|x+1|的单调递减区间是(-∞，-1]
D.函数f(x)=2-x2
命题点2利用定义证明函数的单调性
例2试讨论函数f(x)=axx-1(a≠
思维升华确定函数单调性的四种方法
(1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法.
跟踪训练1(1)下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，+∞)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”的是()
A.f(x)=|x| B.f(x)=x
C.f(x)=-x2+2x D.f(x)=ex
(2)(2024·唐山模拟)函数f(x)=log12(2x2-3x-2)的单调递增区间为
题型二函数单调性的应用
命题点1比较函数值的大小
例3定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(-∞，0](x1≠x2)，有f(
A.f(-2)f(3)f(4)
B.f(-2)f(3)f(4)
C.f(3)f(4)f(-2)
D.f(4)f(-2)f(3)
命题点2求函数的最值
例4函数y=1x-1-1+x(x≥3)的最小值为
求函数的值域(最值)的常用方法
(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.
(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.
(3