2026版步步高大一轮高考数学复习讲义第八章§8.9直线与圆锥曲线的位置关系§8.9直线与圆锥曲线的位置关系
课标要求1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题.
1.直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交?Δ0；直线与圆锥曲线相切?Δ0；直线与圆锥曲线相离?Δ0.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点.
2.弦长公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
则|AB|=(
=1+k2|x1-x2|=
或|AB|=1+1k2|y1-y2
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)过点1，12的直线一定与椭圆x22+y2=1相交
(2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切.()
(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点.()
(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦.()
2.若直线y=kx+2与椭圆x23+y2
A.63 B.-63 C.±63
3.已知直线l：y=x-1与抛物线y2=4x交于A，B两点，则线段AB的长是()
A.2 B.4 C.8 D.16
4.已知点A，B是双曲线C：x22-y23=1上的两点，线段AB的中点是
A.23 B.32 C.49
题型一直线与圆锥曲线的位置关系
例1(1)已知直线l的方程为mx+y+2m=1，椭圆C的方程为x29+y24=1，则直线
A.相离 B.相交
C.相切 D.不能确定
(2)已知双曲线C：x29-y216=1，过点P(3，3)作直线l，使l与
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
思维升华(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合).
跟踪训练1(1)(2024·宿迁模拟)已知抛物线C：x2=y，点M(m，1)，则“m1”是“过M且与C仅有一个公共点的直线有3条”的()
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)直线kx-y+1=0(k∈R)与椭圆x24+y2
A.(1，4] B.[1，4)
C.[1，4)∪(4，+∞) D.(4，+∞)
题型二弦长问题
例2(1)经过椭圆x22+y2=1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段
A.47 B.
C.2 D.16
(2)已知F是双曲线C：x2-y23=1的左焦点，过点F的直线与C交于A，B两点(点A，B在C的同一支上)，且|BF|=2|AF|，则|
A.6 B.8
C.132 D.
圆锥曲线弦长的万能公式(硬解定理)
设直线方程为y＝kx＋b(k≠0)，圆锥曲线的方程为f(x，y)＝0，把直线方程代入曲线方程，可化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)或ay2＋by＋c＝0(a≠0)，设直线和曲线的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).
(1)若消去y，则弦长公式为|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋
＝1＋k2·-b
(2)若消去x，则弦长公式为|AB|＝1＋1k2·|y1－y2|＝
＝1＋1k2·-
典例已知双曲线C：2x2－y2＝2，直线l：x－y＋1＝0与双曲线C交于M，N两点，则弦长|MN|等于()
A.423
C.43 D.42
思维升华(1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用距离公式求(过两点的直线的斜率存在且不等于0).
(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|=x1+x2+p.
(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率.
跟踪训练2(1)已知双曲线C：y23-x2=1的下焦点和上焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于A，B两点，若△F2AB面积是△F1AB面积的4倍，则
A.3 B.-3 C.103 D.-
(2)(2024·长沙模拟)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，过C的左焦点且斜率为1的直线与C交于A，B两点.
题型三中点弦问题
例3(1)已知直线l交抛物线C：x2=-18y于M，N两点，且MN的中点为(3，-2)，则直线l的斜率为()
A.-3 B.-16 C.19 D.
(2)(2024·肇庆模拟)已知直线l：x-y+3=0与双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)交于A，B两点，点
A.y=±14x B.y