2026版步步高大一轮高考数学复习讲义第八章§8.7离心率的范围问题§8.7离心率的范围问题
重点解读圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.
题型一利用圆锥曲线的定义求离心率的范围
例1(1)已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任意一点，且|PF1|·|PF2|最大值的取值范围为[2c2，3c2](其中c2=a2-b
A.33，22
C.33，1 D
(2)已知F1，F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，∠F1PF2=60°，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为()
A.23 B.1
C.32 D.
思维升华此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的取值范围.
跟踪训练1已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的右焦点为F(26，0)，点A的坐标为(0，1)，点P为双曲线左支上的动点，且△
题型二利用圆锥曲线的性质求离心率的范围
例2(1)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1
A.43 B.32 C.2 D
(2)已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且PF1∥QF2.若|PF1|+|QF2
A.0，12 B
C.0，32 D
思维升华利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(或不等式组)来求解离心率的范围问题.
跟踪训练2已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在E上，若对所有的点P均满足|PF1|+|PF2|≥4
A.(2，+∞) B.1，
C.27-23，2
题型三利用几何图形的性质求离心率的范围
例3(1)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0，
A.(1，2) B.[4，+∞)
C.(2，+∞) D.[2，+∞)
(2)已知两定点A(-1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y=x+3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为()
A.55 B.
C.255 D
思维升华利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系来求解离心率的范围问题.
跟踪训练3已知F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点A使得点F2到直线AF
A.[2，+∞) B.(2，+∞)
C.(1，2) D.(1，2]
答案精析
例1(1)A[由基本不等式及椭圆定义可知|PF1|·|PF2|≤PF1|+
当且仅当|PF1|=|PF2|时，等号成立，
∴|PF1|·|PF2|的最大值为a2，
由题意知2c2≤a2≤3c2，
∴2c≤a≤3c，∴33≤e≤22
(2)C[不妨设|PF1|=m，
|PF2|=n(mn)，
椭圆的长半轴长为a1，离心率为e1，双曲线的实半轴长为a2，离心率为e2，两曲线的半焦距均为c，
由椭圆及双曲线的定义得m+n=2a1，m-n=2a2，于是m=a1+a2，n=a1-a2，
在△PF1F2中，由余弦定理得
m2+n2-2mncos60°=4c2?(a1+a2)2+(a1-a2)2-(a1
则a12+3a22=4c2，得1
由基本不等式得
4=1e12+3e22≥23e
当且仅当e1=22，e2=
所以椭圆与双曲线离心率之积的最小值为32.
跟踪训练11，
解析由右焦点为F(26，0)，点A的坐标为(0，1)，可得|AF|=24+1=5
因为△APF的周长不小于18，
所以|PA|+|PF|≥13.
设F2(-26，0)为双曲线的左焦点，可得|PF|=|PF2|+2a，故|PA|+|PF|=|PA|+|PF2|+2a
当A，P，F2三点共线时，|PA|+|PF2|+2a取得最小值，最小值为|AF2|+2a，即5+2a，
所以5+2a≥13，即a≥4，
因为c=26，所以e=ca=26a≤62，
例2(1)B[根据双曲线的定义可得
|PF1|-|PF2|=2a，
因为|PF1|=5|PF2|，
所以|PF1|=5a2，|PF
因为点P在双曲线的右支上，
所以|PF2|≥c-a，
即a2≥c-a，所以3a2
所以1e=ca≤32，所以双曲线的离心率
(2)C[由点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，延长PF1交椭圆于另一交点，记为A，
由PF