2026版步步高大一轮高考数学复习讲义第八章§8.3圆的方程§8.3圆的方程
课标要求1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
1.圆的定义和圆的方程
定义
平面上到定点的距离等于的点的集合叫做圆
方程
标准
(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)
圆心C?
半径为?
一般
x2+y2+Dx+Ey+F=0
(D2+E2-4F0)
圆心C?
半径r=?
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|r?M在，即(x0-a)2+(y0-b)2r2?M在圆外；?
(2)|MC|=r?M在，即(x0-a)2+(y0-b)2=r2?M在圆上；?
(3)|MC|r?M在，即(x0-a)2+(y0-b)2r2?M在圆内.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()
(2)(x-2)2+(y+1)2=a2(a≠0)表示以(2，1)为圆心，a为半径的圆.()
(3)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0，B=0，D2+E2-4AF0.()
(4)若点M(x0，y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外，则x02+y02+Dx0+Ey0+F0
2.已知圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线x-y+t=0对称，则实数t等于()
A.-3 B.1 C.-1 D.3
3.(多选)已知圆C：x2+y2-4x+6y+11=0与点A(0，-5)，则()
A.圆C的半径为2
B.点A在圆C外
C.点A在圆C内
D.点A与圆C上任一点距离的最小值为2
4.以点A(0，-1)，B(2，1)为直径端点的圆的方程为.
1.掌握圆的两个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上.
2.牢记两个相关结论
(1)圆的“直径式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
(2)圆的参数方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为x=a+r
题型一圆的方程
例1设☉M的圆心M在直线2x+y-1=0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为.
思维升华求圆的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
跟踪训练1(2024·南昌模拟)设圆心在x轴的圆C过点(1，1)，且与直线y=2x-1相切，则圆C的标准方程为.
题型二与圆有关的轨迹问题
命题点1直接法
例2已知线段AB的长度为4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的2倍，则△MAB面积的最大值为()
A.82 B.8 C.42 D.16
命题点2定义法
例3已知圆C：(x-1)2+(y-1)2=1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|=2，则点A的轨迹方程是()
A.y2=4x
B.x2+y2-2x-2y-3=0
C.x2+y2-2y-3=0
D.y2=-4x
命题点3相关点代入法
例4(2024·新课标全国Ⅱ)已知曲线C：x2+y2=16(y0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP，P为垂足，则线段PP的中点M的轨迹方程为()
A.x216+y2
B.x216+y2
C.y216+x2
D.y216+x2
思维升华求与圆有关的轨迹问题的常用方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.
(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
跟踪训练2已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(-1，0)，B(3，0).求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
阿波罗尼斯圆
“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(－a，0)，B(a，0)(a0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以Cλ2＋1λ2
典例(1)设A，B是平面上两点，则满足|PA||PB|＝k(其中k为常数，k0且k≠1)的点P的轨迹是一个圆，已知A(6，0)，B62，0，且k＝2，则点P所在圆M的方程为
题型三与圆有关的最值问题
命题点1利用几何性质求最值
例5(多选)已知实数x，y满足