2026版步步高大一轮高考数学复习第一章§1.2常用逻辑用语§1.2常用逻辑用语
课标要求1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p?q且q?p
p是q的必要不充分条件
p?q且q?p
p是q的充要条件
p?q
p是q的既不充分也不必要条件
p?q且q?p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示.
3.全称量词命题和存在量词命题
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M中任意一个x，p(x)成立
存在M中的元素x，p(x)成立
简记
?x∈M，p(x)
?x∈M，p(x)
否定
?x∈M，綈p(x)
?x∈M，綈p(x)
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.(√)
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.(√)
(3)“x1”是“x0”的充分不必要条件.(√)
(4)命题“?x∈R，sin2x2＋cos2x2＝12”是真命题.
2.命题“?x∈R，x2－x＋2≥0”的否定为()
A.?x∈R，x2－x＋20
B.?x∈R，x2－x＋2≤0
C.?x∈R，x2－x＋2≤0
D.?x∈R，x2－x＋20
答案A
解析命题“?x∈R，x2－x＋2≥0”的否定为命题“?x∈R，x2－x＋20”.
3.设x0，y0，则“x2y2”是“xy”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案C
4.已知“p：2≤x3”是“q：xm”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为.?
答案(－∞，2)
解析由题意可知，{x|2≤x3}是{x|xm}的真子集，可得m2，所以实数m的取值范围为(－∞，2).
1.谨记两个常用结论
(1)p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件.
(2)命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.
2.理清一个关系
“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，而B不能推出A，要注意区别上述两种说法的不同.
题型一充分、必要条件的判定
例1(1)(2024·连云港模拟)“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的()
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案A
解析当λ＝－1时，直线l2：－3x＋3y－3＝0，即x－y＋1＝0，与直线l1：x－y＋9＝0平行，充分性成立；
直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行，有λ(λ－2)＝3，解得λ＝－1或λ＝3，
其中当λ＝3时，两直线重合，舍去，故λ＝－1，必要性成立.
故“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的充要条件.
(2)祖暅原理是一个涉及几何求积的著名命题.内容为：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在同一高处的截面积相等.根据祖暅原理可知，p是q的()
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案C
解析已知A，B为两个等高的几何体，由祖暅原理知q?p，而p不能推出q，可举反例，两个相同的圆锥，一个正置，一个倒置，此时两个几何体等高且体积相等，但在同一高处的截面积不一定相等，则p是q的必要不充分条件.
思维升华充分、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据p?q，q?p是否成立进行判断.
(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止.
跟踪训练1(1)设x∈R，则“cosx＝1”是“sinx＝0”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案A
解析当cosx＝1时，x＝2kπ(k∈Z)，此时sinx＝0；
当sinx＝0时，x＝k