2026版步步高大一轮高考数学复习第四章必刷小题8解三角形必刷小题8解三角形
[分值：73分]
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2025·江门模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝30°，b＝2，c＝22，则角A的大小为(
A.45° B.135°或45°
C.15° D.105°或15°
答案D
解析因为B＝30°，b＝2，c＝22
由正弦定理得sinC＝c
因为cb，所以CB，故C＝45°或135°，
可得A＝180°－B－C＝105°或15°.
2.(2024·葫芦岛模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ca＝33，B＝π6，△ABC的面积为
A.23 B.4 C.2 D.6
答案C
解析由于ca＝33，故
由于B＝π6，△ABC
故S＝12acsinB＝
整理得12·c·3c·
解得c＝2，a＝23
利用余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝12＋4－2×23×2×32＝4，解得b＝
3.(2024·南京模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知9sin2B＝4sin2A，cosC＝14，则ca等于
A.114 B.104 C.113
答案D
解析∵9sin2B＝4sin2A，∴9b2＝4a2，即b＝2
∵cosC＝a
∴ca2＝
4.宝塔山是延安的标志，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山的坡度比为7∶3(坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比)，在山坡A处测得∠CAD＝15°，从A处沿山坡往上前进66m到达B处，在山坡B处测得∠CBD＝30°，则宝塔CD的高为()
A.44m B.42m C.48m D.46m
答案A
解析由题可知∠CAD＝15°，∠CBD＝30°，
则∠ACB＝15°，所以BC＝AB＝66，
设坡角为θ，则由题可得tanθ＝7
则可求得cosθ＝3
在△BCD中，∠BDC＝θ＋90°，
由正弦定理可得CD
即CD
解得CD＝44，故宝塔CD的高为44m.
5.在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，∠ABC＝45°，则sin∠ADC的值为()
A.2＋34
C.1＋74
答案C
解析如图，在△ABD中，由正弦定理得
AD
即6
故sin∠BAD＝24
又BDAD，则∠BAD∠ABC，故∠BAD只能是锐角，故cos∠BAD＝144
所以sin∠ADC＝sin(∠BAD＋∠ABD)＝24×22＋
6.(2025·绵阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2025tanA＋2025tanB
A.4051 B.4050
C.4048 D.4047
答案A
解析在△ABC中，
可得2025cos
即2025·sin
故2025·sin(
即2025·sin
所以2025·sin2CsinA
所以2025·c2ab＝a2＋b2-c22ab，即4050c2＝a2＋b2－c2，所以4051
7.在锐角△ABC中，B＝60°，AB＝1，则AB边上的高的取值范围是()
A.34，1
C.32，3
答案D
解析设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则AB边上的高h＝asinB＝32a
由正弦定理得a＝csin
由△ABC为锐角三角形，可知30°C90°，
则tanC33，所以a＝3
从而h∈3
因此AB边上的高的取值范围是34
8.(2025·长沙模拟)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AC上的点，AC＝2AB，CD＝1，AE＝3EC，∠ADB＝∠EDC＝α，则cosα等于()
A.32 B.33 C.23
答案D
解析由D是BC的中点，AC＝2AB，CD＝1，AE＝3EC，
设CE＝x，则BD＝1，AE＝3x，AB＝2x，
在△ABC中，由正弦定理得2
即sinB＝2sinC，
在△ABD中，由正弦定理得2xsin
在△CED中，由正弦定理得xsinα
由①②得2＝ADDE·sinC
即AD＝4DE.
在△ABD中，由余弦定理得4x2＝1＋AD2－2ADcosα＝1＋16DE2－8DEcosα，③
在△CDE中，由余弦定理得
x2＝1＋DE2－2DEcosα，④
由③④得4＋4DE2＝1＋16DE2，
解得DE＝12，AD＝
则x2＝1＋14－2×12cosα＝54－cos
在△ADE中，由余弦定理得
9x2＝AD2＋DE2－2AD·DE·cos(π－2α)
＝4＋14＋2×2×12cos
＝174＋2cos2α＝4cos2α＋
可得454－9cosα＝4cos2α＋
解得cosα＝34(－3舍去)
二、多项选择题