2026版步步高大一轮高考数学复习第三章进阶篇不等式恒(能)成立问题进阶1参数全分离进阶篇不等式恒(能)成立问题
解决不等式恒(能)成立问题，常用的方法有：
(1)参数全分离
将原含参不等式等价变形成a≤f(x)这类形式，进而转化为求f(x)的最值问题.当参变分离后的函数f(x)不复杂，容易求最值时，可采用此法.
(2)参数半分离
将原含参不等式等价变形成f(x)≤g(a，x)这类形式，画图分析参数a如何取值才能满足该不等式，这种方法往往需要关注切线、端点等临界状态.
注：g(a，x)表示g(x)这个函数表达式中既有a也有x，a在不等式左右两边都可以.
(3)参数不分离(隐零点、端点效应).
(4)特殊的方法(同构等).
进阶1参数全分离
题型一参数全分离
例1不等式lnx－ax＋1≤0恒成立，求实数a的取值范围.
解不等式lnx－ax＋1≤0恒成立，
即ax≥lnx＋1恒成立，x0，
即a≥lnx
设g(x)＝lnx＋1
则g(x)＝－ln
易知函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
g(x)max＝g(1)＝1，
所以a≥1.
思维升华分离参数法解决恒(能)成立问题的策略
(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
(2)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.
跟踪训练1(2024·青岛模拟)已知函数f(x)＝ax－ex，a0.
(1)若a＝1，求函数f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)若x0，f(x)≤a－x2恒成立，求实数a的取值范围.
解(1)当a＝1时，f(x)＝x－ex，f(1)＝1－e，
f(x)＝1－ex，所以f(1)＝1－e，
所以f(x)在x＝1处的切线方程为y－(1－e)＝(1－e)(x－1)，即y＝(1－e)x.
(2)当x0时，ax－ex≤a－x2恒成立，
即a(x－1)≤ex－x2恒成立.
①当0x≤1时，x－1≤0，ex1，x2≤1，
又a0，所以a(x－1)≤0，ex－x20，
所以a(x－1)≤ex－x2恒成立.
②当x1时，x－10，
原不等式等价于a≤ex
即a≤e
令g(x)＝e
则g(x)＝(
令h(x)＝ex－x，
则h(x)＝ex－1，当x0时，h(x)0，
则h(x)＝ex－x在(0，＋∞)上单调递增，
h(x)h(0)＝1，
所以当x1时，ex－x0.
则当1x2时，g(x)0，
当x2时，g(x)0，
所以g(x)＝ex-x2x-1在(1，2
所以a≤ex-x2x-1min＝g(2
所以0a≤e2－4，
综上，实数a的取值范围是(0，e2－4].
题型二换元后参数分离
例2已知函数f(x)＝xexa-
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间和极值点；
(2)若a0，且当x0时，f(x)－1恒成立，求实数a的取值范围.
解(1)当a＝－1时，f(x)＝xe－x－1，f(x)＝e－x－xe－x，
令f(x)＝0，得x＝1，
所以当x1时，f(x)0；
当x1时，f(x)0.
所以f(x)的单调递减区间为(1，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)，极大值点为x＝1，无极小值点.
(2)方法一f(x)－1?xexa-2a-2
即xexa-2
令xa＝t，t0，则x＝at
atet－(2a＋2)t＋a＋10对于t0恒成立，
即a(tet－2t＋1)2t－1，(*)
易证当t0时，ett＋1，
则tet－2t＋1t(t＋1)－2t＋1(t－1)2≥0，
即tet－2t＋10，
于是，由(*)可得a2
令g(t)＝2t-1te
则g(t)＝-(2t＋1)(t-1)(t
当t∈(0，1)时，g(t)0；
当t∈(1，＋∞)时，g(t)0，
所以g(t)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，g(t)max＝g(1)＝1
所以a1
故实数a的取值范围是1e-1
方法二f(x)－1?xexa-2a-2
即xexa-2
令xa＝t，t0
则x＝at，atet－(2a＋2)t＋a＋10对于t0恒成立，
即aa＋12t-1
设h(t)＝2t-1tet，t0，则
当t∈(0，1)时，h(t)0；
当t∈(1，＋∞)时，h(t)0.
可得h(t)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以h(t)max＝h(1)＝1
则aa＋11e
故实数a的取值范围是1e-1
思维升华在有些题目中不能直接利用分离参数法，有时为了简化函数，常进行换元，如本题令t＝xa就可轻松分离参数
跟踪训练2已知函数f(x)＝[ln(1＋x)]2－x2
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若不等式1