2026版步步高大一轮高考数学复习第七章§7.2球的切、接问题§7.2球的切、接问题
重点解读球的切、接问题是历年高考的热点内容，一般以客观题的形式出现，考查空间想象能力、计算能力.其关键点是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或特殊几何体来解决或转化为特殊几何体的切、接问题来解决.
一、正方体与球
1.内切球：内切球直径2R=正方体棱长a.
2.棱切球：棱切球直径2R=正方体的面对角线长2a.
3.外接球：外接球直径2R=正方体体对角线长3a.
二、长方体与球
外接球：外接球直径2R=体对角线长a2+b2+c2
三、正棱锥与球
1.内切球：V正棱锥=13S表·r=13S底·h(等体积法)，r是内切球半径，
2.外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R2=(h-R)2+r2(正棱锥外接球半径为R，高为h).
四、直棱柱的外接球
球心到直棱柱两底面的距离相等，直棱柱两底面外心连线的中点为其外接球球心.R2=h22+r2(直棱柱的外接球半径是R，高是h，底面外接圆半径是
五、圆柱的外接球
R=h22+r2(R
六、圆锥的外接球
R2=(h-R)2+r2(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径).
题型一外接球
命题点1补形法
例1(1)古代数学名著《九章算术·商功》中，将底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.若四棱锥P-ABCD为“阳马”，PA⊥平面ABCD，AB=BC=4，PA=3，则此“阳马”外接球的表面积为()
A.41π2 B.41π4 C.41
答案D
解析由于PA⊥平面ABCD，AB，AD?平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，
由于四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD，
所以AB，AD，PA两两互相垂直，
所以四棱锥P-ABCD可补形为长方体，且长方体的体对角线为PC=32+4
所以外接球的直径2R=41，
所以外接球的表面积为4πR2=41π.
(2)已知三棱锥S-ABC的四个顶点都在球O的球面上，且SA=BC=2，SB=AC=7，SC=AB=5，则球O的表面积是.?
答案8π
解析将三棱锥S-ABC放入长方体中，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，如图所示，
则a
则a2+b2+c2=8，
因为球O的直径即为长方体的体对角线，
则球O的半径为a2+b
所以球O的表面积是4π×(2
思维升华满足下列条件的可以补成长方体
(1)(墙角模型)三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，如图①.
(2)三棱锥的四个面均是直角三角形，如图②.
(3)(对棱模型)三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图③.
跟踪训练1在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=22，且三棱锥P-ABC的体积为83，若三棱锥P-ABC
A.4π B.16π3 C.8π
答案D
解析∵三棱锥P-ABC的体积为83
∴13×34×(22)2
∴PA=433，将三棱锥补成三棱柱，可得球心为三棱柱外接球的球心，球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半
∵△ABC是边长为22的正三角形，
∴△ABC外接圆的半径r=26
∴球的半径为R=d2+r2
∴该球的表面积为4π×22=16π.
命题点2定义法
例2(2024·六盘水模拟)如图，在四面体ABCD中，∠ACB=∠ADB=90°，AB=2，则四面体ABCD外接球的表面积为()
A.2π B.4π C.8π D.8π
答案B
解析设O是AB的中点，
连接OC，OD，如图所示，
由∠ACB=∠ADB=90°，
得OA=OB=OC=OD，
所以O是四面体外接球的球心，且半径为OA=OB=OC=OD=12AB=1
所以外接球的表面积为4π×12=4π.
思维升华到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可.
跟踪训练2已知菱形ABCD的边长为2，∠B=60°.将△ABC沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥P-ACD，如图所示，当三棱锥P-ACD的表面积最大时，三棱锥P-ACD的外接球体积为()
A.52π3 B.43π3
答案D
解析由题意可得，△ACD，△ACP均为边长为2的等边三角形，△PAD，△PCD为全等的等腰三角形，则三棱锥P-ACD的表面积
S=2S△ACD+2S△PCD=2×12×2×2×32+2×12×2×2sin∠PCD=23+4sin∠PCD≤23
当且仅当sin∠P