2026版步步高大一轮高考数学复习第九章§9.2用样本估计总体§9.2用样本估计总体
课标要求1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度.
1.百分位数
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.
2.平均数、中位数和众数
(1)平均数：x＝1n(x1＋x2＋…＋x
(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时).
(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据).
3.方差和标准差
(1)方差：s2＝1nnΣi=1(xi－x)
(2)标准差：s＝1n
4.总体方差和总体标准差
(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为Y，则总体方差S2＝1NNΣi=1(Yi－
(2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝1NkΣi=1fi(Yi－
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近.(×)
(2)方差与标准差具有相同的单位.(×)
(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变.(√)
(4)在频率分布直方图中，可以用最高的小长方形底边中点的横坐标作为众数的估计值.(√)
2.在下列统计量中，用来描述一组数据离散程度的量是()
A.平均数 B.众数
C.百分位数 D.标准差
答案D
解析标准差反映了数据离散程度的大小，所以说标准差是用来描述一组数据离散程度的统计量，故D正确.
3.已知在高考前最后一次模拟考试中，高三某班8名同学的物理成绩分别为84，79，84，86，95，84，87，93，则该组数据的平均数和众数分别是()
A.86，84 B.84.5，85
C.85，84 D.86.5，84
答案D
解析将样本数据按升序排列为79，84，84，84，86，87，93，95，可得平均数x＝79＋3×84＋86＋87＋93＋958
4.(2024·周口模拟)已知一组从小到大排列的数据为a，2，2，4，4，5，6，b，8，8，若其第70百分位数等于其极差，则2a＋b＝.?
答案10
解析因为10×0.7＝7，所以a，2，2，4，4，5，6，b，8，8的第70百分位数为6＋b2，其极差为8－a，所以6＋b2＝8－a，解得2
1.若x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为mx＋a，方差为m2s2.
2.数据x1，x2，…，xn与数据x1＝x1＋a，x2＝x2＋a，…，xn＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变.
题型一样本数字特征的估计
例1(1)(多选)(2024·郴州模拟)随机抽取8位同学对他们2024年数学新课标全国Ⅰ卷的平均分进行预估，得到一组样本数据：97，98，99，100，101，103，104，106，则下列关于该样本的说法正确的有()
A.平均数为101 B.极差为9
C.方差为8 D.第60百分位数为101
答案ABD
解析平均数为
97＋98＋99＋100＋101＋103＋104＋1068＝101，A
极差为106－97＝9，B正确；
方差为(97-101
＝16＋9＋4＋1＋0＋4＋9＋258＝8.5，C
因为60%×8＝4.8，故第60百分位数为101，D正确.
(2)如图是2023年11月中国的10个城市地铁运营里程(单位：公里)及运营线路条数的统计图，下列判断正确的是()
A.这10个城市中北京的地铁运营里程最长且运营线路条数最多
B.这10个城市地铁运营里程的中位数是516公里
C.这10个城市地铁运营线路条数的平均数为15.4
D.这10个城市地铁运营线路条数的极差是12
答案C
解析北京的地铁运营线路条数最多，而运营里程最长的是上海，A错误；
地铁运营里程的中位数是558.6＋5162＝537.3(公里)，B
地铁运营线路条数的平均数为20＋27＋18＋14＋17＋12＋14＋10＋14＋810＝15.4，C
地铁运营线路条数的极差是27－8＝19，D错误.
思维升华计算一组n个数据第p百分位数的步骤
跟踪训练1(1)(多选)某次比赛通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为7，12，13，17，1