2026版步步高大一轮高考数学复习第二章§2.5函数性质的综合应用§2.5函数性质的综合应用
重点解读函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容,经常以客观题出现,通过分析函数的性质特点,结合图象研究函数的性质,往往多种性质结合在一起进行考查.
题型一函数的奇偶性与单调性
例1(2025·大连模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,?x1,x2∈[0,＋∞),且x1≠x2,f(x1)-f(x2)x1-x24(x1＋x2
A.1e,e
C.[1,e2] D.1
答案D
解析设x1x2,
由f(x1)-f(x2
得f(x1)－f(x2)4(x1＋x2)(x1－x2)＝4(x1
所以f(x1)－4x12f(x2)
令g(x)＝f(x)－4x2,x∈[0,＋∞),
则g(x1)g(x2),
所以函数g(x)在[0,＋∞)上单调递增,
因为f(x)是定义在R上的偶函数,
所以f(－x)＝f(x),
所以对任意的x∈R,g(－x)＝f(－x)－4(－x)2＝f(x)－4x2＝g(x),
所以函数g(x)为R上的偶函数,
且g(2)＝f(2)－4×22＝16－16＝0,
由f(lnm)≤4(lnm)2,
可得f(lnm)－4(lnm)2≤0,
即g(lnm)≤g(2),
即|lnm|≤2,所以－2≤lnm≤2,
解得1e2≤m≤e
所以m的取值范围是1e
思维升华(1)解抽象函数不等式,先把不等式转化为f(g(x))f(h(x)),利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组).
(2)比较大小,利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,进而利用其单调性比较大小.
跟踪训练1(多选)已知函数y＝f(x＋1)是R上的偶函数,且f(x)在[1,＋∞)上单调递增,a＝f(log28),b＝f(－ln2),c＝f(eln2),则下列说法正确的是()
A.函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
B.cba
C.函数y＝f(x)在区间(－∞,1]上单调递减
D.函数f(x)在x＝1处取到最大值
答案ABC
解析由函数y＝f(x＋1)是R上的偶函数,并且y＝f(x＋1)的图象是由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的,所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称,所以A正确；
因为a＝f(log28)＝f(3),b＝f(－ln2)＝f(2＋ln2),c＝f(eln2)＝f(2),因为3ln2＋221且函数f(x)在[1,＋∞)上单调递增,所以f(2)f(－ln2)f(3),即cba,所以B正确；
因为f(x)在[1,＋∞)上单调递增,所以函数f(x)在(－∞,1]上单调递减,所以函数f(x)在x＝1处取到最小值,所以C正确,D不正确.
题型二函数的奇偶性与周期性
例2(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝－f?x＋12,
A.f(x)为奇函数
B.f(x)为偶函数
C.f(x)是一个周期为3的周期函数
D.f(2025)＝－2
答案BCD
解析函数f(x)的定义域为R,且f(0)＝－2,则f(x)不可能是奇函数,故A错误；
定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝－f?x＋12,变形可得f(
而f?x
则f?-x-
则f(－x)＝－f?x-32,则有f(－x)
即函数f(x)为偶函数,故B正确；
已知函数f(x)满足f(x－1)＝－f?x
即f(x)＝－f?
则有f(x＋3)＝－f?x＋32＝
即函数f(x)是一个周期为3的周期函数,故C正确；
f(x)是偶函数且周期为3,
则f(2025)＝f(0)＝－2,故D正确.
思维升华周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等,常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内,或已知单调性的区间内求解.
跟踪训练2已知定义在R上的函数f(x)满足条件：①f(x)的周期为2,②f(x－2)为奇函数,③?x1,x2∈[0,1),x1≠x2,f(x1)-f(x
A.f?112f(4)
B.f(4)f?112
C.f?-152f(4)
D.f?-152f?
答案C
解析因为f(x－2)为奇函数,f(x)的周期为2,所以f(x)为奇函数,
因为?x1,x2∈[0,1),x1≠x2,f(
所以f(x)在[0,1)上单调递增,
因为f(x)为奇函数,
所以f(x)在(－1,0]上单调递增,
所以f(x)在(－1,1)上单调递增,
因为f?-152＝f?
f(4)＝f(4－2×2)＝f(0),
f?112＝f?112
所以f?12f(0)
即f?-152f(4)
题型三函数的奇偶性与对称性
例3(多选)(2025·宁波模拟)已知f(x),g(x