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2025届浙江省杭州第四中学高三三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则（????）
A． B．
C． D．
2．下列函数中，在区间上为减函数的是（????）
A． B． C． D．
3．一袋中有大小相同的个红球和个白球，若从中不放回地取球次，每次任取个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到白球”为事件，则（????）
A． B． C． D．
4．设是三个不同平面，且，则“”是“”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则的前5项和为（????）
A． B． C．5 D．25
6．已知函数的部分图象如图所示，则的值是（????）
??
A． B．1 C． D．
7．下列命题错误的是（?????）
A．若数据的标准差为，则数据的标准差为
B．若，则
C．若，则
D．若为取有限个值的离散型随机变量，则
8．已知直线，圆，若直线上存在两点，圆上存在点，使得，且，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知定义在R上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则（????）
A． B．
C．函数为减函数 D．函数的图象关于点对称
10．如图，已知正方体的棱长为为底面正方形内（含边界）的一动点，则下列结论正确的是（????）
A．存在点，使得平面
B．三棱锥的体积为定值
C．当点在棱上时，的最小值为
D．若点到直线与到直线的距离相等，的中点为，则点到直线的最短距离是
11．抛物线的焦点为，经过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，分别过点A、点B作抛物线C的切线，两切线相交于点E，则（????）
A．当时，
B．面积的最大值为2
C．点E在一条定直线上
D．设直线倾斜角为，为定值
三、填空题
12．在二项式的展开式中，常数项为．
13．已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为．
14．如图，在三角形中，若，，，则四边形的面积的最大值为.
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，．
(1)求证：平面PAD；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面PBC与平面PAD所成角的大小．
条件①：；
条件②：平面PAD．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
16．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求的极值；
(3)当时，判断零点个数，并说明理由．
17．有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球．
(1)若此人次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个的概率记为，求，；
(2)该游戏在第几次停止的概率最大，请说明理由．
18．已知椭圆，分别为双曲线的左，右顶点，分别为和的离心率．
(1)若．
（ⅰ）求的渐近线方程；
（ⅱ）过点的直线l交的右支于两点，与直线交于两点，记坐标分别为，求证：；
(2)从上的动点引的两条切线，经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，说明理由．
19．已知数列，数列，其中，且，．记的前项和分别为，规定．记，且，，且
(1)若，，写出；
(2)若，写出所有满足条件的数列，并说明理由；
(3)若，且．证明：，使得．
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《2025届浙江省杭州第四中学高三三模数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
B
A
A
D
C
ACD
ABD
题号
11
答案
CD
1．D
【分析】先解一元二次不等式求出集合，再求两集合的交集即可.
【详解】解不等式可得，即；
又，因此．
故选：D
2．D
【分析】根据三角函数，指数函数和对数函