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山东省聊城市2025届高考模拟试题（三）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．集合，，则（）
A． B．
C． D．
2．“”是“”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知数据，9，7，9的中位数和平均数相等，那么的值为（????）
A．5 B．7 C．5或9 D．7或11
4．已知平面向量，是两个单位向量，若的模为，则在上的投影向量是（）
A． B． C． D．
5．记为公差不为0的等差数列的前项和，若，，，成等比数列，则（）
A．0 B．6 C．12 D．18
6．已知是直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，，则面积的最大值为（）
A． B． C．1 D．2
7．已知某圆台的轴截面中有一个角为，且下底是上底的2倍，若该圆台的外接球的表面积为，则该圆台的体积为（????）
A． B． C． D．
8．已知是定义域为的可导函数，设其导函数为．若为偶函数，且，则（）
A．60 B．40 C．20 D．8
二、多选题
9．已知，，则（????）
A． B．
C． D．
10．已知曲线，，，为曲线上的动点，则（????）
A．若在第一象限，则
B．若在第二象限，则在轴上存在两点，，使为定值
C．若在第三象限，过点向直线作垂线，垂足分别为，则
D．直线是曲线的一条切线
11．对于数列，设区间内偶数的个数为，则称数列为的“数列”，则（????）
A．若数列是数列的“数列”，则
B．若数列是数列的“数列”，则是常数列
C．若数列是数列的“数列”，则是等比数列
D．若数列是数列的“数列”，则数列的前项的和为
三、填空题
12．已知是关于的方程的一个根，则的模为．
13．函数的最小值为．
14．已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，连接与轴交于点，若是的角平分线，则椭圆的离心率为．
四、解答题
15．记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，且边上的高为，求的周长．
16．如图，在三棱柱中，，，．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．
17．已知椭圆的短轴长为2，离心率为．
(1)求的方程；
(2)若，分别是的左、右顶点，不与轴垂直的动直线与交于，两点（不同于，），且直线的斜率等于直线的斜率的2倍，求证：直线经过定点．
18．已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)当时，（i）求的最小值；（ii）证明：．
19．一种微生物可以经过自身分裂不断生存下来，对于每个微生物，每次分裂的结果为：有的概率消失，有的概率得到一个新微生物，有的概率得到两个新微生物，有的概率得到三个新微生物．假设开始只有一个这样的微生物．
(1)若，求该微生物经过第一次分裂得到新微生物个数的均值；
(2)若，求该微生物至多经过两次分裂后消失的条件下，第一次分裂得到两个新微生物的概率；
(3)若希望最终这种微生物消失的概率不超过，求的取值范围．
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《山东省聊城市2025届高考模拟试题（三）数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
C
C
A
C
B
BC
BCD
题号
11
答案
ACD
1．B
【分析】利用指数函数的单调性来解指数不等式，再利用交集运算即可.
【详解】由，
则，
故选：B.
2．B
【分析】根据对数函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由，根据对数函数的性质，可得，所以必要性成立；
若时，此时不成立，所以充分不成立，
所以”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3．D
【分析】根据平均数的计算及中位数的定义，分类讨论，列出方程即可求解．
【详解】平均数为，
将这组数据排序，若，7，9，9，则中位数为，
所以，符合题意；
将这组数据排序，若7，，9，9，则中位数为，
所以，符合题意；
若7，9，9，，则中位数为，
所以，符合题意；
综上所述，的值为7或11，
故选：D．
4．C
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出，再求出投影向量.
【详解】依题意，，则，而，解得，
所以在上的投影向量是.
故选：C
5．C
【分析】