试卷类型：
2006年广州市普通高中毕业班第一次模拟考试
数学试题
〔2006年3日20日〕
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四处备选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．
函数的最小正周期是〔〕
A． B． C． D．
在复平面中，复数〔为虚数单位〕所对应的点位于〔〕
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
函数〔〕的反函数是〔〕
A．〔〕 B．〔〕
C．〔〕 D．〔〕
向量，，且，那么向量的坐标为〔〕
A． B．
C．或 D．或
集合，，那么以下关系中正确的选项是〔〕
A． B． C． D．
在长方体中，，，，那么四棱锥的体积是〔〕
A． B． C． D．
假设〔〕的展开式中各项系数的和为，那么展开式中的系数是〔〕
A． B． C． D．
设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，是以下命题中正确的选项是〔〕
A．假设，，那么 B．假设，，那么
C．假设，，那么 D．假设，，，那么
函数是定义在上的增函数，的图像经过点和下面哪一个点时，能确定不等式的解集为〔〕
A． B． C． D．
，，点是圆上的动点，点是圆上的动点，那么的最大值是〔〕
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中相应的横线上．
．
设等差数列的前项和为，，那么．
某学校招收的12名体育特长生中有3名篮球特长生．现要将这12名学生平均分配到3个班中去，每班都分到1名篮球特长生的分配方法共有种，3名篮球特长生被分配到同一个班的分配方法共有种．〔用数字作答〕
如图，，，，，动点所在的区域为四边形〔含边界〕．假设目标函数只在点处取得最优解，那么实数的取值范围是．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解容许写出文字说明、演算步骤或推证过程．
〔本小题总分值12分〕
某射击运发动射击1次，击中目标的概率为．他连续射击5次，且每次射击是否击中
目标相互之间没有影响．
〔Ⅰ〕求在这5次射击中，恰好击中目标2次的概率；
〔Ⅱ〕求在这5次射击中，至少击中目标2次的概率．
〔本小题总分值12分〕
，，．
〔Ⅰ〕求的值；
〔Ⅱ〕求的值．
〔本小题总分值14分〕
如图，长度为的线段夹在直二面角的两个半平面内，，，
且与平面、所成的角都是，，垂足为，，垂足为．
〔Ⅰ〕求直线与所成角的大小；
〔Ⅱ〕求二面角所成平面角的余弦值．
〔本小题总分值14分〕
数列满足以下条件：，，〔且
〕，其中、为常数，且，为非零常数．
〔Ⅰ〕当时，证明：〔〕；
〔Ⅱ〕当时，求．
〔本小题总分值14分〕
如图，在中，，点分线段所成的比，以、所在
直线为渐近线的双曲线恰好经过点，且离心率为．
〔Ⅰ〕求双曲线的标准方程；
〔Ⅱ〕假设直线〔，〕与双曲线交于不同的两点、，且、
两点都在以为圆心的同一圆上，求实数的取值范围．
〔本小题总分值14分〕
函数是定义在上的奇函数，当时，有
〔其中为自然对数的底，〕．
〔Ⅰ〕求函数的解析式；
〔Ⅱ〕设〔〕，求证：当时，；
〔Ⅲ〕试问：是否存在实数，使得当，的最小值是？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由．
2006年广州市普通高中毕业班第一次模拟考试
数学试题参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
D
C
B
A
D
C
D
二、填空题：
题号
11
12
13
14
答案
三、解答题：
解：设此人在这5次射击中击中目标的次数为，那么，因此，有
〔Ⅰ〕在这5次射击中，恰好击中目标2次的概率为；
〔Ⅱ〕在这5次射击中，至少击中目标2次的概率为
．
解：〔Ⅰ〕；
〔Ⅱ〕，由此及得
．
解：〔Ⅰ〕如下图，连结，设直线与
所成的角为，那么由知：
，
故；
〔Ⅱ〕如图建立空间直角坐标系，那么
，，
，，
所以，，设
是平面的法向量，那么
可以取．
同理，是平面的法向量．
设二面角所成的平面角为，那么显然是锐角，从而有
．
〔Ⅰ〕证明：由得及知：数列是首项为，公比为的等比数列，故，由此及知：
，即；
〔Ⅱ〕由得，由此及〔Ⅰ〕的结论得
，
由此及．
解：〔Ⅰ〕因为双曲线的离心率为，所以可设双曲线的方程为
，
由此可得渐近线的斜率，从而，．
又因为点分线段所成的比为，故，代入双曲线方程得，故双曲线的方程为
；
〔Ⅱ〕如下图，由方程组
，
设、，线段的中
点为，那么有
． ……①
由韦达定理得，．因为、两点都在以为圆心的同一圆上，所以，即
． ……②
由①、②得．
解：〔Ⅰ〕当时，