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第52天数列与不等式综合（确保120分）
十年高考
考查阐述
试题难度
2015安徽卷
放缩法证明数列不等式
高
2016
未考查
2017
未考查
2018
未考查
2019
未考查
2020浙江卷
证明数列不等式
中
2021天津卷
放缩法证明数列不等式
高
2022浙江卷
求数列项的范围
高
2023
未考查
2024
未考查
命题热度预测2025
数列与不等式结合的题型在历年高考中出现的频率不高，主要考查数列不等式恒成立问题，证明不等式，难度一般较高.预计2025年会有可能考查该考点.
【2015安徽卷】
1．设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，证明.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【难度】0.65
【知识点】数列不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【详解】试题分析：（Ⅰ）对题中所给曲线的解析式进行求导，得出曲线在点处的切线斜率为.从而可以写出切线方程为.令.解得切线与轴交点的横坐标.
（Ⅱ）要证，需考虑通项，通过适当放缩能够使得每项相消即可证明.思路如下：先表示出，求出初始条件当时，.当时，单独考虑，并放缩得，所以
，综上可得对任意的，均有.
试题解析：（Ⅰ）解：，曲线在点处的切线斜率为.
从而切线方程为.令，解得切线与轴交点的横坐标.
（Ⅱ）证：由题设和（Ⅰ）中的计算结果知
.
当时，.
当时，因为，
所以.
综上可得对任意的，均有.
考点：1.曲线的切线方程；2.数列的通项公式；3.放缩法证明不等式.
【2020浙江卷】
2．已知数列中，．
（Ⅰ）若数列为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列为等差数列，且公差，证明：．
【答案】（I）；（II）证明见解析.
【难度】0.4
【知识点】累加法求数列通项、写出等比数列的通项公式、累乘法求数列通项、数列不等式恒成立问题
【分析】（I）根据，求得，进而求得数列的通项公式，利用累加法求得数列的通项公式.
（II）利用累乘法求得数列的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立.
【详解】（I）依题意，而，即，由于，所以解得，所以.
所以，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.
所以（）.
所以，又，符合，
故.
（II）依题意设，由于，
所以，
故
.
又，而，
故
所以
.
由于，所以，所以.
即，.
【点睛】本小题主要考查累加法、累乘法求数列的通项公式，考查裂项求和法，属于中档题.
【2021天津卷】
3．已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【难度】0.4
【知识点】数列不等式恒成立问题、等差数列前n项和的基本量计算、由定义判定等比数列、错位相减法求和
【分析】（I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式；
（II）（i）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；
（ii）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证.
【详解】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以，所以，
所以；
设等比数列的公比为，
所以，解得（负值舍去），
所以；
（II）（i）由题意，，
所以，
所以，且，
所以数列是等比数列；
（ii）由题意知，，
所以，
所以，
设，
则，
两式相减得，
所以，
所以.
【点睛】关键点点睛：
最后一问考查数列不等式的证明，因为无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证.
【2022浙江卷】
4．已知数列满足，则（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列不等式恒成立问题、累加法求数列通项
【分析】先通过递推关系式确定除去，其他项都在范围内，再利用递推公式变形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放缩可得出．
【详解】∵，易得，依次类推可得
由题意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
综上：．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.
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（数列与不等式恒成立）
5．已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，且不等式对一切恒成立，求实数的最大值.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】等比中项的应用、求等差数列前n