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第48天数列的通项公式（确保120分）
十年高考（新课标1卷）
考查阐述（考点、考向、交汇点等）
试题难度（低，中，高）
2015
由与的关系求通项公式
中
2016
由与的关系求通项公式
中
2017
根据地推关系求通项公式
中
2018
未考查
2019
根据地推关系求通项公式
中
2020
未考查
2021
根据地推关系求通项公式
中
2022
由与的关系求通项公式
中
2023
由与的关系求通项公式
中
2024
未考查
中
命题热度预测2025
历年高考对数列通项公式的考查比较频繁，主要考查与的关系、根据递推关系求通项，难度中等．预计2025年仍有可能考查．
1．【2015新课标Ⅰ卷】为数列{}的前项和．已知＞0，=．
（Ⅰ）求{}的通项公式；
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】解：（Ⅰ）由，可知，
两式相减得，
即，
∵，∴，
∵，
∴（舍）或，
则{}是首项为3，公差d＝2的等差数列，
∴{}的通项公式．
2．【2016新课标III卷】已知数列的前n项和，其中．
（Ⅰ）证明是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）若，求．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）由题意得，故，，．
由，得，即．由，得，所以．
因此是首项为，公比为的等比数列，于是．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．由得，即．
解得．
3．【2017新课标III卷】设数列满足．
（1）求的通项公式；
【答案】（1）．
【解析】（1）数列满足
时，
∴
∴
当时，，上式也成立
∴
4．【2019浙江卷】设，数列中，，，则（）
A．当????B．当
C．当????D．当
【答案】A
【解析】若数列为常数列，则，由，
可设方程
选项A：时，，，
，
故此时不为常数列，
，
且，
，则，
故选项A正确；
选项B：时，，，
则该方程的解为，
即当时，数列为常数列，，
则，故选项B错误；
选项C：时，，
该方程的解为或，
即当或时，数列为常数列，或，
同样不满足，则选项C也错误；
选项D：时，，
该方程的解为，
同理可知，此时的常数列也不能使，
则选项D错误．
故选：A．
5．【2021浙江卷】已知数列满足．记数列的前n项和为，则（）
A．????B．????C．????D．
【答案】A
【解析】因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当时，
则，当且仅当时等号成立，
，
由累乘法可得，且，
则，当且仅当时取等号，
由裂项求和法得：
所以，即．
故选：A．
6．【2022新高考I卷】记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
【答案】（1）
【解析】（1）∵，∴，∴，
又∵是公差为的等差数列，
∴，∴，
∴当时，，
∴，
整理得：，
即，
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
7．【2023天津卷】已知数列的前n项和为，若，则（）
A.16????B.32????C.54????D.162
【答案】C
【解析】当时，，所以，即，
当时，，
所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，
则．
故选：C．
（累加法）【2025河北张家口一模】
1．已知数列满足，且，则.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式、求等比数列前n项和
【分析】由题意结合累加法求出即可求解.
【详解】由题得
，
当时，符合题意，
所以，
故答案为：.
（累乘法）【2025福建厦门二模】
2．已知数列满足，，则的前6项和为（???）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项
【分析】首先，利用递推求出的通项公式，再根据裂项相消法即可求出结果.
【详解】由，
当时，
，
显然，对于时也成立，
所以，
则的前6项和为.
故选：C.
（构造辅助数列法）
3．设数列的前n项和为，已知，，若，则正整数k的值为（???）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求等比数列前n项和、构造法求数列通项、等比数列的定义
【分析】由题设有，等比数列定义求通项公式，进而有求，再由及放缩法确定范围求参数值.
【详解】，又，
所以是首项为1，公比为的等比数列，
所以，
故，令
由且，则，
由，则，
则，所以，
故，则正整数的值为2023.
故选：C
（由与的关系求解）【2025辽宁名校联盟调研】
4．已知数列解前项和为，若，则，.
【答案】78
【难度】0.65
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、