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第43天解三角形的实际应用（确保120分）
十年高考（新课标1卷）
考查阐述（考点、考向、交汇点等）
试题难度（低，中，高）
2015
正余弦定理解决高度测量问题
中
2016
未考查
2017
未考查
2018
未考查
2019
未考查
2020
未考查
2021
新定义问题
中
2022
未考查
2023
未考查
2024
未考查
命题热度预测2025
近10年高考对解三角形解决实际问题的考查并不多见，主要利用正余弦定理高度、长度测量问题.预计2025年高考考查的可能性不大.
【2015湖北卷】
1．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度m.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】高度测量问题
【详解】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.
考点：正弦定理及运用．
【2021全国乙卷】
2．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（????）
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】高度测量问题
【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】如图所示：
由平面相似可知，，而，所以
，而，
即＝．
故选：A.
【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．
（长度测量问题）
3．早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在位置时，测出；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了位置，测出，．若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：）（???）
????
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】距离测量问题、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形
【分析】连接，根据给定条件，在中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理求解即得.
【详解】连接，在中，，又，则是正三角形，，
由，，得，，
在中，，由正弦定理得，则，
在中，由余弦定理得.
故选：A
??
（距离测量问题）
4．为运输方便，某工程队将从到修建一条湖底隧道，如图，工程队从出发向正东行到达，然后从向南偏西方向行了一段距离到达，再从向北偏西方向行了到达，已知在南偏东方向上，则到的距离为（???）
??
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】距离测量问题、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形
【分析】由题意，∠ABC＝45°，∠ACD＝60°，∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，AB＝，CD＝，在△ABC中，由正弦定理得，在△ACD中，由余弦定理求得．
【详解】连接AC，由题意，∠ABC＝45°，∠ACD＝75°－15°＝60°，∠BCD＝75°＋45°＝120°，
∠ACB＝60°，AB＝，CD＝，
??
在△ABC中，由正弦定理得，，
即，则，
在△ACD中，由余弦定理得，，
则．
故选：B．
（高度测量问题）【2025四川乐山一模】
5．某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（????）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】余弦定理解三角形、高度测量问题
【分析】设，由，结合余弦定理可得，求解即可.
【详解】设，则可得，
由，可得B是AC的中点，所以，
而，则，
，中，由余弦定理可得：，
解得：，所以该建筑的高度米.
故选：B.
（航海中的测量问题）【2025陕西商洛期末】
6．位于处的雷达接收到在其正东方向相距海里的处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于处雷达北偏东且与处雷达相距30海里的处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（???）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】角度测量问题
【分析】由余弦定理解三角形可得.
【详解】如图，由题意可得．在中，由余弦定理可得
海里，
故甲船至少需要航行的海里数为．
故选：C.
??
解三角形实际应用解题步骤小结
解三角形在实际应