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第42天解三角形在平面几何中的应用（确保120分）
十年高考（新课标1卷）
考查阐述（考点、考向、交汇点等）
试题难度（低，中，高）
2015
角平分线相关爪型三角形求边角
中
2016
未考查
2017
垂线相关爪型三角形求面积
中
2018
爪型三角形求边角
中
2019
圆中面积最值问题
中
2020
爪型三角形求角
中
2021
爪型三角形求角
中
2022
未考查
2023
中线相关爪型三角形求边角
中
2024
未考查
命题热度预测2025
历年高考对三角形中特征线（角平分线、中线、高线等）的考查屡见不鲜，多以解答题形式出现，属于高频考点，大多数考题都可以两次利用余弦定理解决.预计2025年高考仍有可能对该考点进行考查.
【2015全国卷】
1．中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
【答案】（1）；（2）,1
【难度】0.65
【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形
【详解】试题分析：（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解；（2）借助题设余弦定理立方程组求解.
试题解析：
（1），，
∵，，∴．
由正弦定理可知.
（2）∵，，
∴．
设，则，
在△与△中，由余弦定理可知，
，
，
∵，∴，
∴，解得，
即．
考点：三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．
【2017全国卷】
2．的内角的对边分别为已知.
（1）求角和边长；
（2）设为边上一点，且,求的面积.
【答案】（1），；（2）.
【难度】0.65
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【详解】试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出从而可得的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长的值；（2）先根据余弦定理求出，求出的长，可得，从而得到，进而可得结果.
试题解析：（1），，由余弦定理可得，即，即，解得（舍去）或，故.
(2)，，，，，.
【2018全国卷】
3．在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若，求.
【答案】（1）；（2）.
【难度】0.65
【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形
【分析】（1）方法一：根据正弦定理得到，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得；
（2）方法一：根据第一问的结论可以求得，在中，根据余弦定理即可求出．
【详解】（1）［方法1］：正弦定理＋平方关系
在中，由正弦定理得，代入数值并解得．又因为，所以，即为锐角，所以．
［方法2］：余弦定理
在中，，即，解得：，所以，
．
［方法3］：【最优解】利用平面几何知识
如图，过B点作，垂足为E，，垂足为F．在中，因为，，所以．在中，因为，则．
所以．
［方法4］：坐标法
以D为坐标原点，为x轴，为y轴正方向，建立平面直角坐标系（图略）．
设，则．因为，所以．
从而，又是锐角，所以，．
（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理
在，由（1）得，，
，所以．
［方法2］：【最优解】利用平面几何知识
作，垂足为F，易求，，，由勾股定理得．
【整体点评】（1）方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解三角形，属于通性通法；
方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法；
方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算．
方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想的体现．
（2）方法一：已知两边及夹角，利用余弦定理解三角形，是通性通法．
方法二：利用几何知识，解直角三角形，简单易算．
【2019北京】
4．如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为
A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】扇形面积的有关计算、三角形面积公式及其应用
【分析】由题意首先确定面积最大时点P的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值.
【详解】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，
此时∠BOP=∠AOP=π-β,面积S的最大值为+S△POB+S△POA=4β+
.
故选B.
【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.
【2020江苏】
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边