义乌市普通高中2025届适应性考试
数学试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分，考试时间120分钟，试卷总分为150分.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
选择题部分（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则（）
A B.
C. D.
2.已知复数满足，其中为虚数单位，则（）
A. B. C. D.
3.已知，向量与的夹角为，则（）
A.1 B. C. D.
4.将一个棱长为6cm的正方体铁块熔铸成一个底面半径为3cm的圆锥体零件，则该圆锥体零件的高约为（）（取）
A8cm B.12cm C.16cm D.24cm
5.已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
6.在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论一定正确的是（）
A. B. C. D.
7.已知过抛物线焦点的直线与该抛物线交于两点，若，则的最大值为（）
A.2 B.3 C.4 D.6
8.狄利克雷函数定义为：，以下选项中正确的是（）
A.不存在，使得恒成立
B.存在，使得恒成立
C.对任意，满足
D.函数图象上存在三点，使得是直角三角形
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.有两组数据，数据A：1，3，5，7，9和数据B：1，2，4，8，16，则（）
A.数据A平均数小于数据B的平均数
B.数据A的方差小于数据B的方差
C.数据A的极差小于数据B的极差
D.数据A的中位数小于数据B的中位数
10.设函数，则（）
A.当时，有极大值4 B.当时，
C.当时， D.当时，
11.在平面直角坐标系中，动点在直线上的射影为点，且，记动点的轨迹为曲线，则下列结论正确的是（）
A.曲线关于原点对称 B.点的轨迹长度为1
C. D.曲线围成的封闭区域的面积小于2
非选择题部分（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知等差数列的前n项和为，，则公差_______.
13.若，则_______.
14.已知四棱锥的底面为菱形，三棱锥为正四面体，则三棱锥与三棱锥的外接球半径之比为_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.某手机厂对屏幕进行两项独立检测：亮度检测通过率，色准检测通过率.产品需通过两项检测才算合格.随机抽取3件产品，设合格品数为X.
（1）求单件产品为合格品概率；
（2）求X的分布列及数学期望；
（3）已知合格品利润100元/件，若改进工艺能使亮度检测通过率提升至，但每件成本增加1元.是否值得改进？
16.双曲线的离心率为，过左焦点的直线与双曲线的左支、右支分别交于点，当直线与轴垂直时，.
（1）求双曲线的方程；
（2）点满足，其中是坐标原点，求四边形的面积.
17.如图，在三棱锥中，是正三角形，，，，点为的重心.
（1）证明：平面；
（2）若平面平面，求二面角的平面角的正切值.
18.已知函数，
（1）当时，求的极值；
（2）若在区间上存在零点
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）证明：当时，.
19.给定正整数，考虑集合的所有排列，对每个，定义：，并规定.记为所有排列中的最大值.
（1）对于排列，计算，再直接写出和值，并分别给出一个满足的排列和一个满足的排列；
（2）对任意整数，证明：；
（3）证明：.