第PAGE页，共NUMPAGES页
成实外教育集团高2022级高三4月联考试卷
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.图中阴影部分用集合符号可以表示为（）
A. B.
C D.
2.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（）
A B. C. D.
3.现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，可以得到多少个不同的数（）
A. B. C. D.
4.已知是定义在上的函数，则“其图象关于点成中心对称图形”是“函数为奇函数”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，若的一个方向向量为，则（）
A.4 B. C.6 D.5
6.已知锐角，满足，则的最小值为（）
A2 B. C. D.
7.设虚数，则的虚部为（）
A.41 B. C.121 D.
8.已知函数，数列满足，，，，则（）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.下面命题正确的是（）
A.对于随机事件与，，，若，则事件与相互独立
B.若经验回归方程为，则样本中心点为
C.数据2，7，9，11，13，12，5，7，9，11，13，15的分位数为12
D.随机变量，当最大，则的取值为3
10.已知函数fx=Asinωx+φA0,ω0,?πφ?π2
A.偶函数
B.的最小正周期是
C.的图象关于直线对称
D.将图象向左平移后，在上单调递减
11.我国知名品牌小米公司Logo（如图）具备“超椭圆”数学之美，设计师的灵感来源于数学中的曲线（、为常数，且）．则下列有关曲线的说法中正确的是（）
A.对任意的且，曲线总关于原点对称
B.当，时，曲线与坐标轴的交点个数为5个
C.当，时，曲线上的点到原点的距离最小值为
D.当时，曲线与直线交于，两点，则的最小值为30
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________.
13.在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，当时，_______________．
14.在中，，（），若当面积取最大值时，，则________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.在中，角，，的对边分别为，，，且是与的等差中项．
（1）求角；
（2）若角的角平分线交于，若，求面积的最小值．
16.已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R).
（1）当a＝时，求f(x)的极值；
（2）讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
17.如图，菱形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
（1）若，证明：平面平面；
（2）若，当三棱锥体积最大时，
①求直线与平面所成角的正弦值；
②求平面与平面所成二面角的大小．
18.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．已知甲盒子中装有个黄球和个黑球，乙盒子中装有个黄球和个黑球（个球的大小形状完全相同）．记操作：从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中．在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有个黄球的概率为，恰有个黄球的概率为，并记的数学期望为．
（1）求、；
（2）求；
（3）证明：是等比数列．
19.在平面直角坐标系中，分别以轴和轴为实轴和虚轴建立复平面，已知复数，在复平面内满足为定值的点的轨迹为曲线．且点在曲线上．
（1）求曲线的平面直角坐标系方程；
（2）若斜率为的直线与曲线交于、两点（直线斜率为正），直线、（若、重合，直线即为椭圆在点处的切线）分别与轴交于、两点，为中点．
（i）证明：为定值；
（ii）最大时，将坐标平面沿轴折成二面角，在二面角大小变化过程中，求三棱锥外接球的半径最小时，三棱锥的表面积．