2025年普通高等学校招生全国统一考试
数学冲刺卷（一）
本试卷共150分考试时间120分钟
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（）
A. B. C.i D.-i
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的除法及的性质求解.
【详解】，
故选：C
2.已知集合，．若，则的最大值是（）
A.2 B.-1 C.0 D.1
【答案】D
【解析】
【分析】由题意得到，即可求解.
【详解】由，，
可知，
所以，即的最大值是1.
故选：D.
3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量的起点和终点均在格点上，则向量在向量上的投影向量为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】方法一根据投影向量公式结合平面向量数量积运算律计算求解；方法二应用投影向量的性质计算求解.
【详解】（方法一）如图，建立平面直角坐标系，
可得，则，
向量在向量上的投影向量为.
（方法二）向量在向量上的投影向量等于向量在向量上的投影向量加上向量在向量上的投影向量，
根据投影向量的概念可知向量在向量上的投影向量为，
向量在向量上的投影向量为，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：A.
4.若是第三象限角，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平方关系求出，即可得解.
【详解】由已知可得：，
代入可得，
解得或
是第三象限角，，，
，
故选：B
5.已知，则（）
A.0 B.1 C.0或1 D.2
【答案】B
【解析】
【分析】将看成一个整体，利用求解即可.
【详解】，
故，
所以，
故，解得
故选：B.
6.汉诺塔是一个经典的数学益智游戏，它主要由三根柱子（通常标记为甲、乙、丙）和若干个大小不同的圆盘组成．游戏规则是把甲柱上的圆盘全部移到丙柱，一次移一个且大圆盘不能放在小圆盘上．记把n个圆盘从甲柱上全部移到丙柱的最少次数为，根据游戏规则知，若，则圆盘的个数（）
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】C
【解析】
【分析】由递推关系构造等比数列求出数列通项即可得解.
【详解】由题意可知，
由可得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
故，
解得，
令，解得，
故选：C
7.已知函数的部分图象如图所示，A，B分别是相邻的最高点与最低点，直线AB的方程为，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得的坐标，即可得到函数周期，从而可得，再将点的坐标代入，即可得到.
【详解】因为是最高点，所以，将代入直线方程，可得，
所以，
因为是最低点，所以，将代入直线方程，可得，
所以，
则，则，
所以，
将代入，可得，
即，所以，解得，
又，当时，，
所以.
故选：B
8.如图，，分别为双曲线的左、右焦点，A为双曲线C左支上一点，四边形为等腰梯形，且．若，则双曲线C的离心率的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由双曲线的定义可得，在中结合余弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，由双曲线的定义可知，，
又四边形为等腰梯形，且，则，
则，
在中，由余弦定理可得，
，
即，
化简可得，即，解得，
又，所以.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.某研究机构在训练人工智能模型时，有两种训练算法甲和乙，使用算法甲训练了30次，每次训练耗时的平均数为2，方差为0.25，使用算法乙训练了20次，每次训练耗时的平均数为1.5，方差为0.3，则（）
A.总体每次训练平均耗时1.8小时
B.总体每次训练平均耗时1.75小时
C.总体每次训练耗时的方差为0.28
D.总体每次训练耗时的方差为0.33
【答案】AD
【解析】
【分析】利用分层随机抽样的平均数与方差公式计算即可得出结果.
【详解】总体每次训练平均耗时为，故A项正确，B项错误；
总体每次训练耗时的方差为
，故C项错误，D项正确.
故选：AD
10.如图，在的方格中，移动规则如下：每行均可左右移动，每列均可上下移动，每次仅能对某一行或某一列进行移动，其他行或列不变化．