2025届高三二轮复习联考（三）
数学试题
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.复数的虚部是（）
A.1 B. C. D.
2.已知等差数列的前项和为，且，，则（）
A.5 B.6 C.7 D.8
3.已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量是（）
A B. C. D.
4.已知函数，则函数在区间上的零点个数为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.在高为的正四棱台中，，，则此四棱台的外接球的表面积是（）
A. B. C. D.
6.记曲线：，若直线与曲线相切，则（）
A. B. C. D.
7.计算：（）
A. B. C. D.1
8.已知函数，当时，，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（）
A.焦点到抛物线的准线的距离为8
B.
C.若的中点的横坐标为3，则
D.若，则
10.已知函数，则（）
A.，使得为单调函数
B.，的图象恒有对称中心
C.当时，
D.若，，是方程的三个不同的根，则
11.已知的内角，，的对边分别为，，，，的平分线交于，，则下列说法正确的是（）
A.的最小值为
B.
C.的最大值是
D.的周长的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知数列满足，，则______.
13.已知奇函数，则______.
14.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，且这三个数之积为偶数，记满足条件的这三个数之和为；从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，且这两个数之积为偶数，记满足条件的两个数之和为.则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.某校有高一学生1800人，高二学生1200人，学校采取按比例分配的分层抽样的方式从中抽取100人进行体育测试.测试后，统计得到高一样本的一分钟跳绳次数的均值为165，方差为61，高二样本的一分钟跳绳次数的均值为145，方差为31．
（1）计算总样本的一分钟跳绳次数的均值和方差；
（2）将一分钟跳绳次数视为及格，整理出以下列联表：
及格
不及格
合计
高一
52
8
60
高二
38
2
40
合计
90
10
100
试根据小概率值的独立性检验，分析一分钟跳绳次数及格情况是否与年级有关；（结果保留小数点后三位）
（3）如果将（2）表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断一分钟跳绳次数及格情况与年级之间的关联性，结果还一样吗？请你试着解释其中的原因．
附：，．
独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
0.1
0.05
0.01
0.005
0001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
16.已知函数.
（1）若曲线在点处的切线过点，求的值；
（2）求的极值点.
17.已知椭圆：，点在椭圆上.椭圆上关于原点对称的任意两个不与点重合的点、和点连线的斜率之积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若一条斜率存在且不为0的直线交椭圆于，两点，且线段的中点的纵坐标为，过作直线.定点到直线的距离记为，求的最大值并求出对应的直线的方程.
18.如图，底面为正方形的四棱锥中，，，记，．
（1）证明：直角三角形；
（2）当四棱锥的体积最大时，求平面与平面所成角的余弦值；
（3）记直线与平面所成角为，求的最大值．
19.对于非空数集，，若，则称数集具有性质.
（1）若数集具有性质，证明：；判断，否具有性质，并说明理由.
（2）若满足①；②，当时，都有.
（i）判断“数集具有性质”是否是“数列为等差数列”的充要条件，并说明理由；
（ii）已知数集具有性质且，，求数集具有性质的概率.