2025年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）数学
本试卷共4页.考试结束后，将答题卡交回.
注意事项：
1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2．答题时请按要求用笔.
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
2.已知为虚数单位，若，则（）
A. B. C. D.
3.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
4.已知向量，满足，，则等于（）
A.12 B.10 C. D.
5.等比数列中，，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.近日，数字化构建社区服务新模式成为一种趋势．某社区为了优化数字化社区服务，通过问卷调查的方式调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分）进行统计，根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，图中，则满意度计分的第一四分位数约为（）
A.87.5 B.85 C.70 D.62.5
7.如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖．可放小球的最大半径为．若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则（）
A. B. C. D.
8.已知函数在区间上有且仅有一个零点，当最大时，的图象的一条对称轴方程为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑．则（）
A.阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形
B.鳖臑的四个面均为直角三角形
C.阳马的体积是鳖臑的体积的两倍
D.堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等
10.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，点M为内一动点，且，则（）
A. B.
C.a的最大值为2 D.的最小值为
11.已知点，分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，且，点P是椭圆上异于，的一动点，直线，分别与直线交于点，，则下列说法正确的有（）
A. B.
C.的最小值为 D.的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知函数，则的值等于_____．
13.函数最小值为_____．
14.已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知数列中，，，且数列为等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）记为数列前n项和，证明：．
16.甲、乙两个箱子中，各装有个球，其中甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球．掷一枚质地均匀骰子，如果点数为或，则从甲箱中随机摸出个球；如果点数为、、、，则从乙箱中随机摸出个球．已知掷次骰子后，摸出的球都是红球的概率是．
（1）求的值；
（2）记摸到红球的个数为随机变量，求的分布列和数学期望．
17.已知圆，抛物线的准线与圆相切，过抛物线焦点的动直线与抛物线交于、两点，线段的中点为．
（1）求抛物线的方程；
（2）当轴时，求直线的斜率；
（3）求证：为定值，并求出该定值．
18.已知函数，．
（1）已知在处的切线斜率为，求实数的值；
（2）若，且关于的方程有个不相等的实数解，求的取值范围；
（3）若函数在上单调递增，求的取值范围．
19.如图所示，在直角梯形中，，A，D分别是，上的点，且，，，，将四边形沿向上折起，连接，，，在折起的过程中，记二面角的大小为，记几何体的体积为V．
（1）求证：平面；
（2）当时，请将V表达为关于的函数，并求该函数的最大值；
（3）若平面和平面垂直，当取得最大值时，求V的值．