比赛情境下的概率分布问题
体育比赛中赛制的选择，输赢的估计等方面都蕴含着非常丰富的概率知识.解决体育比赛中的概率问题首先要对体育比赛的赛制有所了解，其次是能准确判断事件之间是否互斥、独立，理解积事件、和事件，及n次独立重复实验k次发生的意义，真正把握概念和各模型之间的联系与区别.
一、n局m胜制
〔多选〕在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛，决赛采用五局三胜制和三局两胜制其中一种，若每局比赛甲胜乙的概率都为23，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则下列说法中正确的是（）
A.若采用三局两胜制，甲获得冠军时，比分为2∶1的可能性最大
B.若采用五局三胜制，甲获得冠军时，比分为3∶0和3∶1的可能性相等
C.若采用五局三胜制，则比赛对乙更有利
D.若采用五局三胜制，乙先赢了一局，甲仍有超过50%的可能性获得冠军
解析：BD对于A，若采用三局两胜制，甲以2∶0获胜的概率为49，甲以2∶1获胜的概率为C21×23×13×23＝827＜49，故A错误；对于B，若采用五局三胜制，甲以3∶0获胜的概率为827，甲以3∶1获胜的概率为C32×（23）2×13×23＝827，故B正确；对于C，因为采用三局两胜制甲胜的概率为49＋827＝2027，采用五局三胜制甲胜的概率为827＋827＋C42×（23）2×（13）2×23＝6481，所以采用三局两胜制和五局三胜制乙胜的概率分别为727和1781，所以采用三局两胜制对乙更有利，故C错误；对于D，若采用五局三胜制
规律方法
n局m胜制的规则特点为一旦某方获得m次胜利即终止比赛，所以若比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中某方达到m胜.
二、连胜制
甲、乙两队举行比赛，比赛共有7局，若有一方连胜3局，则比赛立即终止.已知甲每局获胜的概率为23，则甲在第5局终止比赛并获胜的概率为（）
A.881 B.
C.766 D.
解析：A要使甲在第5局终止比赛并获胜，可分为2类情况：①甲前2局均失败，后3局中连胜，则甲在第5局终止比赛并获胜的概率为p1＝（1－23）×（1－23）×23×23×23＝8243；②甲第1局胜，第2局负，后3局中连胜，则甲在第5局终止比赛并获胜的概率为p2＝23×（1－23）×23×23×23＝16243.所以甲在第5局终止比赛并获胜的概率为p＝
规律方法
连胜制的规则特点是：规定某方连胜m场即终止比赛，所以若提前结束比赛，则最后m场某方连胜且之前没有某方达到m场连胜.
三、比分差距制
为了贯彻党的二十大提出的基础教育发展方针，全面落实“五育并举”的战略目标，某市举办2024年秋季高中生乒乓球比赛活动，本次活动乒乓球单打按国际比赛规则，即首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分.在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方.甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为35，乙在一次发球中，得1分的概率为12.如果在一局比赛中，由乙同学先发球
（1）甲、乙的比分暂时为8∶8，求最终甲以11∶9赢得比赛的概率；
（2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望.
解：（1）甲以11∶9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，最终甲以11∶9赢得比赛的概率为P＝C21×（12）2×（35）2＋（12）2×2
（2）设甲累计得分为随机变量X，X的可能取值为0，1，2，3.
P（X＝0）＝（12）2×25＝
P（X＝1）＝C21×（12）2×25＋（12）2
P（X＝2）＝C21×（12）2×35＋（12）2
P（X＝3）＝（12）2×35＝
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
1
7
2
3
所以E（X）＝0×110＋1×720＋2×25＋3×3
规律方法
比分差距制的规则特点是：规定某方比对方多m分即终止比赛，此时首先根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于m.
四、积分制
（2025·厦门一模）甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛，比赛分三轮，每轮两场比赛，具体赛程如下表：
第一轮
甲VS乙
丙VS丁
第二轮
甲VS丙
乙VS丁
第三轮
甲VS丁
乙VS丙
规定：每场比赛获胜的球队记3分，输的球队记0分，平局两队各记1分，三轮比赛结束后以总分排名.总分相同的球队以抽签的方式确定排名，排名前两位的球队出线.假设甲、乙、丙三支球队水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为13，丁的水平较弱，面对其他任意一支球队胜、负、平的概率都分别为16，12，1
（1）求丁的总分为7分的概率，判断此时丁能否出线，并说明理由；
（2）若第一轮比赛结束，甲、乙、丙、丁四支球队的积分分别为3，0，3，0