极化恒等式及应用
1.极化恒等式
通过人A必修二P22练习3题我们可以知道，在平面向量中，由（a＋b）2＝a2＋b2＋2a·b，（a－b）2＝a2＋b2－2a·b，两式相减可得极化恒等式：a·b＝14[（a＋b）2－（a－b）2
2.几何解释
（1）平行四边形模型：向量的数量积等于“和对角线长”与“差对角线长”平方差的14，即a·b＝14[（a＋b）2－（a－b）2]）（如图
（2）三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边边长的一半的平方差，即AB·AC＝AM2－MB2（M为BC的中点）（如图
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
一、利用极化恒等式求值
（1）设向量a，b满足｜a＋b｜＝10，｜a－b｜＝6，则a·b＝（）
A.1 B.2
C.3 D.5
（2）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则EF·FG＋GH·HE＝.
听课记录
规律方法
利用向量的极化恒等式可以快速对共起点（终点）的两向量的数量积问题进行转化，建立了向量的数量积与几何长度（数量）之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移等价转化为共起点（终点）的两向量的数量积问题，从而利用极化恒等式解决.
二、利用极化恒等式求最值（范围）
（1）已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则PD·PC的最大值是（）
A.92 B.
C.32 D.
（2）边长为1的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PM·PN的取值范围是.
听课记录
变式如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球球O的一条弦（球面上任意两点连成的线段为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，试求PM·PN的取值范围.
规律方法
利用极化恒等式求数量积的最值（范围）时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式.难点在于求中线长的最值（范围），可通过观察图形或用点到直线的距离等求解.
1.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，则FD·FE＝（）
A.－34B.－89 C.－14
2.在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，则OP·BP的最小值为（）
A.－116 B.－
C.116 D.
3.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值是.
4.已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝16相交于M，N两点，若c2＝a2＋b2，P为圆O上的任意一点，则PM·PN的取值范围为.
5.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，试求PA·（PB＋PC）的最小值.