极化恒等式及应用
1.极化恒等式
通过人A必修二P22练习3题我们可以知道，在平面向量中，由（a＋b）2＝a2＋b2＋2a·b，（a－b）2＝a2＋b2－2a·b，两式相减可得极化恒等式：a·b＝14[（a＋b）2－（a－b）2
2.几何解释
（1）平行四边形模型：向量的数量积等于“和对角线长”与“差对角线长”平方差的14，即a·b＝14[（a＋b）2－（a－b）2]）（如图
（2）三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边边长的一半的平方差，即AB·AC＝AM2－MB2（M为BC的中点）（如图2
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
一、利用极化恒等式求值
（1）设向量a，b满足｜a＋b｜＝10，｜a－b｜＝6，则a·b＝（A）
A.1 B.2
C.3 D.5
（2）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则EF·FG＋GH·HE＝32.
解析：（1）法一（常规方法）因为｜a＋b｜＝10，所以（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝10①，又｜a－b｜＝6，所以（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝6②，①－②得4a·b＝4，所以a·b＝1.
法二（极化恒等式法）由极化恒等式可得：a·b＝（a＋b）2-(a
（2）连接EG，FH交于点O（图略），则EF·FG＝EO2－OF2＝1－（12）2＝34，GH·HE＝GO2－OH2＝1－（12）2＝34，因此EF·
规律方法
利用向量的极化恒等式可以快速对共起点（终点）的两向量的数量积问题进行转化，建立了向量的数量积与几何长度（数量）之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移等价转化为共起点（终点）的两向量的数量积问题，从而利用极化恒等式解决.
二、利用极化恒等式求最值（范围）
（1）已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则PD·PC的最大值是（B）
A.92 B.
C.32 D.
解析：（1）如图所示，取CD的中点E，连接PE，由极化恒等式可得PD·PC＝PE2－EC2＝｜PE｜2－12，所以当P与A（B）重合时，｜PE｜＝52最大，从而（PD·PC）
（2）边长为1的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PM·PN的取值范围是［0，14］
解析：（2）如图所示，设正方形ABCD的内切圆为圆O，当弦MN的长度最大时，MN为圆O的一条直径，PM·PN＝｜PO｜2－｜OM｜2＝｜PO｜2－14，当P为正方形ABCD的某边的中点时，｜OP｜min＝12，当P与正方形ABCD的顶点重合时，｜OP｜max＝22，即12≤｜OP｜≤22，因此，PM·PN＝｜PO｜2－14∈［
变式如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球球O的一条弦（球面上任意两点连成的线段为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，试求PM·PN的取值范围.
解：当弦MN的长度最大时，MN为球O的直径，连接PO，如图所示，
则PM·PN＝PO2－ON2＝PO2
因为P为正方体表面上的动点，故PO∈[1，3]，所以PM·PN∈[0，2].
规律方法
利用极化恒等式求数量积的最值（范围）时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式.难点在于求中线长的最值（范围），可通过观察图形或用点到直线的距离等求解.
△△△
1.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，则FD·FE＝（）
A.－34 B.－
C.－14 D.－
解析：B由极化恒等式得FD·FE＝FO2－14DE2＝19
2.在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，则OP·BP的最小值为（）
A.－116 B.－18C.116
解析：A如图所示，取OB的中点D，过点D作DE⊥AB于点E，连接PD，则OP·BP＝PO·PB＝｜PD｜2－｜OD｜2＝｜PD｜2－14，易知｜PD｜∈[｜DE｜，｜AD｜]＝［34，32］，则OP·BP＝PD2－14∈［－116，12
3.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值是78.
解析：设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.由向量的极化恒等式，知AB·AC＝｜AD｜2－｜DB｜2＝9n2－m2＝4，FB·FC＝｜FD｜2－｜DB｜2＝n2－m2＝－1，联立解得n2＝58，m2＝138，因此EB·EC＝｜ED｜2－｜DB｜2＝4n2－m2＝7