2026版步步高大一轮高考数学复习第三章必刷大题6导数的综合问题必刷大题6导数的综合问题
[分值：60分]
1.(13分)(2024·葫芦岛模拟)已知函数f(x)＝lnx－a(x＋1)(a∈R)在点(2，f(2))处的切线与直线x＋2y＝0平行.
(1)求f(x)的单调区间；(6分)
(2)当x∈(1，2)时，f(x)x22＋(k－2)x－k－12恒成立，求实数k的取值范围
解(1)由已知可得f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f(x)＝1x－a
所以f(2)＝12－a＝－12，即a
所以f(x)＝lnx－(x＋1)，
f(x)＝1x－1＝
令f(x)0，得0x1，
令f(x)0，得x1，
所以f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞).
(2)由(1)得f(x)＝lnx－(x＋1)，
将不等式整理得f(x)－x22＋2x＋12k(x
因为x∈(1，2)，所以x－10，
原不等式可转化为klnxx-1-x
令M(x)＝lnxx-1-x-12
则M(x)＝1
＝(
令P(x)＝(x2－1)(2－x)－2xlnx，x∈(1，2)，
则P(x)＝－(3x－1)(x－1)－2lnx0，
所以P(x)在(1，2)上单调递减，
P(x)P(1)＝0，即M(x)0，
所以M(x)在(1，2)上单调递减，
M(x)M(2)＝ln2－1
所以k≤ln2－1
所以实数k的取值范围是-∞
2.(15分)(2024·赣州模拟)已知函数f(x)＝ex－1－lnx.
(1)求f(x)的单调区间；(7分)
(2)已知m0，若函数g(x)＝f(x)－m(x－1)有唯一的零点x0，证明：1x02.(8分)
(1)解∵f(x)＝ex－1－lnx，
f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴f(x)＝ex－1－1
令l(x)＝ex－1－1x(x0
∴l(x)＝ex－1＋1x2
∴当x0时，l(x)即f(x)单调递增，
又∵f(1)＝0，
∴当x∈(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f(x)0，f(x)单调递增.
∴f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞).
(2)证明∵g(x)＝f(x)－m(x－1)＝ex－1－lnx－mx＋m(m0)，
∴g(x)＝ex－1－1x－m(x0，m0
由(1)可知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝－m0，
又g(1＋m)＝em－11＋m－mem－(m
易证emm＋1，则g(1＋m)0，
∴存在唯一的t∈(1，1＋m)?(1，＋∞)，使得g(t)＝0，
∴当x∈(0，t)时，g(x)0，g(x)单调递减；
当x∈(t，＋∞)时，g(x)0，g(x)单调递增；
∴g(x)min＝g(t)＝et－1－lnt－mt＋m，
又当x→0时，g(x)→＋∞；当x→＋∞时，g(x)→＋∞，
所以若方程g(x)＝ex－1－lnx－mx＋m＝0有唯一的实根x0，则x0＝t1，
∴g
消去m可得(2－t)et－1－lnt＋1－1t＝0(t1
令h(t)＝(2－t)et－1－lnt＋1－1t(t1
则h(t)＝(1－t)et－1－1
＝(1－t)et-1
∴h(t)在(1，＋∞)上为减函数，
且h(1)＝10，h(2)＝12－ln20
∴当h(t)＝0时，t∈(1，2)，即1x02.
3.(15分)(2025·八省联考)已知函数f(x)=alnx+bx-
(1)设a=1,b=-2,求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程;(5分)
(2)若x=1是f(x)的极小值点,求b的取值范围.(10分)
解(1)当a=1,b=-2时,f(x)=lnx-2x-x,x
令f(x)=1x+2x2-1=2,得(3x
解得x=1(负值舍去),
故切点为(1,-3),
切线方程为y+3=2(x-1),即2x-y-5=0.
(2)f(x)=ax-b
∵x=1为f(x)的极小值点,
∴f(1)=a-b-1=0,a=b+1,
∴f(x)=-x
=-(x-1)(x-b)x
①当b≤0时,x-b0,令f(x)=0得x=1,
当0x1时,f(x)0,f(x)单调递增;
当x1时,f(x)0,f(x)单调递减,f(x)在x=1处取得极大值,舍去.
②当b=1时,f(x)=-(x-1)2x
f(x)在(0,+∞)上单调递减,
f(x)不存在极值,舍去.
③当0b1时,当0xb时,f(x)0,f(x)单调递减;
当bx1时,f(x)0,f(x)单调递增;
当x1时,f(x)0,f(x)单调递减,此时f(x)在x=1处取得极大值,舍去.
④当b1时,当0x1时,f(x)0,f(x)单调递减;
当1xb时,f(x)0,f(x)单调递增;当xb时,f(x)0,f(x)单调递减,此