第1页，共31页，星期日，2025年，2月5日从弹性力学的基本方程建立以来，这些方程在各种问题的边界条件下如何求解，一直是很多数学工作者和力学工作者研究的内容。即弹性力学的经典解法存在一定的局限性，当弹性体的边界条件和受载情况复杂一点，往往无法求得偏微分方程的边值问题的解析解，许多工程重要问题，不能够得出函数式的解答。因此，弹性力学问题的各种数值解法便具有重要的实际意义。第2页，共31页，星期日，2025年，2月5日工程中常用的数值解法有有限单元法和差分法。有限单元法是以有限个单元的集合体来代替连续体，属于物理上的近似。差分法是把弹性力学的基本方程和边界条件（一般均为微分方程）近似地改用差分方程（代数方程）来表示，把求解微分方程的问题改换成为求解代数方程的问题，属于数学上的近似。第3页，共31页，星期日，2025年，2月5日第一节差分方程第二节应力函数的差分解第三节深梁应力函数的差分解第4页，共31页，星期日，2025年，2月5日第一节差分方程差分法是沿用已久的一种数值解法。随着计算机的普及和相应的软件发展，此法成为解弹性力学问题的一种有效的方法。第5页，共31页，星期日，2025年，2月5日我们在弹性体上，用相隔等间距h而平行于坐标轴的两组平行线织成正方形网格，Δx=Δy=h，如图。设f=f(x,y)为弹性体内的某一个连续函数。该函数在平行于x轴的一根网线上，如在３-０-１上,它只随x坐标的改变而变化。在邻近结点０处，函数f可展为泰勒级数如下：第6页，共31页，星期日，2025年，2月5日我们将只考虑离开结点０充分近的那些结点，即（x-x0）充分小。于是可不计（x-x0）的三次及更高次幂的各项，则上式简写为：在结点３，x=x0-h,在结点1,x=x0+h，代入(b)得：第7页，共31页，星期日，2025年，2月5日联立(c),(d),解得差分公式：同理，在网线４-０-２上可得到差分公式第8页，共31页，星期日，2025年，2月5日差分公式(１-１)及(１-３)是以相隔2h的两结点处的函数值来表示中间结点处的一阶导数值，可称为中点导数公式。以相邻三结点处的函数值来表示一个端点处的一阶导数值，可称为端点导数公式。应当指出：中点导数公式与端点导数公式相比，精度较高。因为前者反映了结点两边的函数变化，而后者却只反映了结点一边的函数变化。因此，我们总是尽可能应用前者，而只有在无法应用前者时才不得不应用后者。第9页，共31页，星期日，2025年，2月5日以上(１-１)~(１-４)是基本差分公式,从而可导出其它的差分公式如下：第10页，共31页，星期日，2025年，2月5日第二节应力函数的差分解当不计体力时，我们已把弹性力学平面问题归结为在给定边界条件下求解双调和方程的问题。用差分法解平面问题，就应先将双调和方程变换为差分方程，而后求解之。第11页，共31页，星期日，2025年，2月5日一旦求得弹性体全部节点的φ值后，就可按应力分量差分公式（对节点0）算得弹性体各节点的应力。第12页，共31页，星期日，2025年，2月5日可见，用差分法解平面问题，共有两大任务：一、建立差分方程将（1-6~8）代入双调和方程对于弹性体边界以内的每一结点，都可以建立这样一个差分方程。整理即得第13页，共31页，星期日，2025年，2月5日二、联立求解这些线性代数方程，就能求得各内结点处的值。为了求得边界上各结点处的φ值，须要应用应力边界条件，即：一般建立和求解差分方程，在数学上不会遇到很大困难。但是，当对于边界内一行的（距边界为h的）结点，建立的差分方程还将涉及边界上各结点处的φ值，并包含边界外一行的虚结点处的φ值。第14页，共31页，星期日，2025年，2月5日代入上式，即得：l1=cos(N,x)=cosα=dy/ds,l2=cos(N,y)=sinα=-dx/ds,于是，式（a）可改写为：由右图可见，第15页，共31页，星期日，2025年，2月5日关于边界上任一点处由此得：的值，可将（b）式从A点到B点对s积分得到：第16页，共31页，星期日，2025年，2月5日将此式亦从A点到B点沿s进行积分，就得到边界上任一点B处的φ值。为此利用分部积分法，得：由高等数学可知，第17页，共31页，星期日，2025年