例4.7设A={1,2,…,10}，对于A上的关系R={x,y|(x?y)/3?I}I为整数集，问R有哪些性质？第31页，共60页，星期日，2025年，2月5日解：逐条性质加以验证R={x,y|(x?y)/3?I}任取A中元素x，由于(x?x)/3=0，所以R是自反的；又设A中任意两个元素x,y，如果xRy，即x?y可被3整除，则y?x也一定可被3整除，即yRx，从而R是对称的；如果A中三个元素x，y，z满足xRy，yRz，则x?y，y?z被3整除，由于x?z=(x?y)+(y?z)，所以x?z被3整除，从而xRz即R具有传递性。第32页，共60页，星期日，2025年，2月5日§4.4关系的闭包运算闭包：设R?A?A，自反闭包记作r(R)对称闭包记作s(R)传递闭包记作t(R)由A求r(R)，s(R)，t(R)的过程叫闭包运算。那么，包含R而使之具有自反性质的最小关系，称之为R的自反闭包；包含R而使之具有对称性质(传递性质)的最小关系，称之为R的对称(传递)闭包。一、定义第33页，共60页，星期日，2025年，2月5日幂运算：设R?A?A，k?N，约定(1)R0=IA={x,x|x?A}(2)R1=R(3)Rk+1=Rk?R显然Rm?Rn=Rm+n(Rm)n=Rmn二、计算方法为了有效地计算关系R的各种闭包，先引进关系的幂运算概念。第34页，共60页，星期日，2025年，2月5日闭包运算的方法：设R是A上的任一关系，则(1)r(R)=R∪IA(2)s(R)=R??∪R(3)t(R)=R∪R2∪R3∪…∪Rn∪…第35页，共60页，星期日，2025年，2月5日矩阵形式：(M为R的关系矩阵)(1)Mr=M+E(2)Ms=M+M(M是M的转置)(3)Mt=M+M2+M3……其中“+”均表示“逻辑加”第36页，共60页，星期日，2025年，2月5日例4.8设A={a,b,c,d}，A上的关系求r(R)，s(R)和t(R)解：r(R)=R∪IA={a,b,b,c,c,d,d,c,,a,a,b,b,c,c,d,d}R={a,b,b,c,c,d,d,c,a,a}=R∪{a,a,b,b,c,c,d,d}三、实例第37页，共60页，星期日，2025年，2月5日s(R)=R∪R??={a,b,b,c,c,d,d,c,b,a,c,b,a,a}t(R)=R∪R2∪R3∪……=R∪{b,a,c,b,d,c,c,d,a,a}第38页，共60页，星期日，2025年，2月5日而R2=R?RR3=R2?RR4=R3?R={a,c,b,dc,c,d,d,a,b,a,d,a,a}={a,d,b,c,c,d,d,c,a,b,a,c,a,a}={a,c,b,d,c,c,d,d,a,b,a,a}实际上，看到当k?4时，已有R4?R∪R2∪R3故t(R)=R∪R2∪R3={a,b,b,cc,d,d,c,a,d,a,c,b,d,c,c,d,d,a,a}第39页，共60页，星期日，2025年，2月5日四、闭包运算的性质设A是有限集且|A|=n，R?A?A，则：?第40页，共60页，星期日，2025年，2月5日§4.6等价关系和偏序关系等价关系：集A上的关系R是自反的,对称的和传递的。等价类：R是集A上的等价关系，对于任一a?A，[a]R={x|aRx,x?A}被称为a的等价类。即A中所有和a有R关系的元素的集合。一、等价关系及用途第41页，共60页，星期日，2025年，2月5日等价类的性质：R是非空集合，对任意的x，y?A，下面的结论成立：(1)[x]??且[x]?A(等价类为A的子集)(2)若xRy，则[x]=[y](3)若x\Ry，则[x]∩[y]=?第42页，共60页，星期日，2025年，2月5日第1页，共60页，星期日，2025年，2月5日1.二元有序组：由两个元素x和y按一定顺序排成二元组，记作：x，y。§4.1二元关系的概念如：平面直角坐标系中点的坐标一、二元关系的概念第2页，共60页，星期日，2025年，2月5日二元有序组的性质(1)当x?y时，x，y?y，x