第8练导数
[明考情]
导数的考查频率较高，以“一大一小”的格局呈现，小题难度多为中低档.
[知考向]
1.导数的几何意义.
2.导数与函数的单调性.
3.导数与函数的极值、最值.
考点一导数的几何意义
要点重组(1)f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率.
(2)f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处切线的斜率.
1.设点P是曲线y＝x3－eq\r(3)x＋eq\f(2,3)上的任意一点，在点P处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()
A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))
C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))
答案C
解析∵y′＝3x2－eq\r(3)，
∴tanα≥－eq\r(3)，
∴0≤α＜eq\f(π,2)或eq\f(2π,3)≤α＜π.
2.函数f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线方程是()
A.x＋y＋1＝0 B.x＋y－1＝0
C.x－y＋1＝0 D.x－y－1＝0
答案C
解析f(0)＝e0cos0＝1，因为f′(x)＝excosx－exsinx.
所以f′(0)＝1，所以切线方程为y－1＝x－0，
即x－y＋1＝0，故选C.
3.(2017·包头一模)已知函数f(x)＝x3＋ax＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a等于()
A.－1B.1C.2D.3
答案B
解析函数f(x)＝x3＋ax＋1的导数为f′(x)＝3x2＋a，f′(1)＝3＋a，而f(1)＝a＋2，
所以切线方程为y－a－2＝(3＋a)(x－1).
因为切线方程经过点(2，7)，
所以7－a－2＝(3＋a)(2－1)，解得a＝1.
4.(2017·天津)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________.
答案1
解析∵f′(x)＝a－eq\f(1,x)，∴f′(1)＝a－1.
又∵f(1)＝a，∴切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)，
∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1).
令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.
5.曲线f(x)＝xlnx在点P(1，0)处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积是________.
答案eq\f(1,2)
解析∵f′(x)＝1＋lnx，且f′(1)＝1，
∴切线l的斜率k＝1，切线方程为y＝x－1，
令x＝0，得y＝－1；令y＝0，得x＝1，
∴交点坐标分别为A(0，－1)，B(1，0)，
则|OA|＝1，|OB|＝1，
∴S△ABO＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2).
考点二导数与函数的单调性
要点重组对于在(a，b)内可导的函数f(x)，若f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，则
(1)f′(x)≥0(x∈(a，b))?f(x)在(a，b)上为增函数.
(2)f′(x)≤0(x∈(a，b))?f(x)在(a，b)上为减函数.
6.函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－lnx的单调递减区间为()
A.(－∞，1) B.(0，1)
C.(1，＋∞) D.(0，＋∞)
答案B
解析f(x)的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝x－eq\f(1,x)＝eq\f(x2－1,x).
令f′(x)＜0，解得0＜x＜1.
故函数f(x)在(0，1)上单调递减.
7.若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围为()
A.(－∞，2) B.(－∞，2]
C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,2)))
答案D
解析∵f′(x)＝6x2－6mx＋6，
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，
即x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋eq\f(1,x)恒成立.
令g(x)＝x＋eq\f(1,x)，g′(x)＝1－eq\f(1,x2)，
∴当x2时，g′(x)0，即