x1(1)=0;y1(1)=1;y2(1)=1;h=0.1;%(died.m)fork=1:10x1(k+1)=x1(k)+h;y1(k+1)=(1-h)*y1(k)+h*x1(k)+h;y2(k+1)=(y2(k)+h*x1(k+1)+h)/(1+h);endx1,y1,y2,%（y1——向前欧拉解，y2——向后欧拉解）x=0:0.1:1;y=x+exp(-x)%（解析解）plot(x,y,x1,y1,k:,x1,y2,r--)1、欧拉方法第31页，共47页，星期日，2025年，2月5日x精确解向前欧拉向后欧拉01110.11.004811.00910.21.01871.011.02640.31.04081.0291.05130.41.07031.05611.08300.51.10651.09051.12090.61.14881.13141.16450.71.19661.17831.21320.81.24931.23051.26650.91.30661.28741.324111.36791.34871.3855（1）步长h=0.1的数值解比较表计算结果第32页，共47页，星期日，2025年，2月5日（2）步长h=0.01的数值解比较表x精确解向前欧拉向后欧拉01110.11.00481.00441.00530.21.01871.01791.01950.31.04081.03971.04190.41.07031.06901.07170.51.10651.10501.10800.61.14881.14721.15040.71.19661.19481.19830.81.24931.24751.25110.91.30661.30471.308411.36791.36601.3697结论：显然迭代步长h的选取对精度有影响。第33页，共47页，星期日，2025年，2月5日第1页，共47页，星期日，2025年，2月5日MATLAB软件的实现引例：增长与传播模型实验内容微分方程模型与方法解析解数值解主要内容第2页，共47页，星期日，2025年，2月5日1)掌握微分方程求解的三种解法：解析法、数值解法以及图形表示解的方法;2)掌握求微分方程数值解的欧拉方法,了解龙格---库塔方法的思想;3）学会使用MATLAB软件求解析解、数值解和图形解；4）通过范例学习怎样建立微分方程模型和分析问题的思想；实验目的返回第3页，共47页，星期日，2025年，2月5日首先研究某些物种增长的一阶微分方程.其中x(t)表示一种给定物种在时刻t的总数;r(t,x)表示该物种的净增长率;进一步假定r(t,x)是常数,于是得到简化模型：解：引例:群体增长模型第4页，共47页，星期日，2025年，2月5日t=0:12;x=2*exp(0.4*t);plot(t,x,r:o)思考:该模型是否符合物种的自然增长规律?第5页，共47页，星期日，2025年，2月5日该模型用于预测地球上的人口总数,例如1961年地球上的人口总数为3,060,000,000，又假定人口总数以2%的速度增长(净增长率)，故检验：1700~1961年期间，实际数字与理论数值吻合！预测：p(2510)=2,000,000(亿)；p(2670)=36,000,000(亿)；星球的总表面积约18,600,000亿ft2，80%被水覆盖，到2510年，每人占地面积只有9.3ft2,到2670年，每人占地面积只有0.5167ft2。第6页，共47页，星期日，2025年，2月5日分析以上模型,并修改模型.一般地，br，若x不是很大，则可以忽略-bx2。相反,当x很大时,-bx2不能忽略,它将减慢群体迅速的增长率.解出结果：竞争项第7页，共47页，星期日，2025年，2月5日分析解称该曲线为逻辑曲线或S形曲线。符合很多实际情况。物种发展到一定时期,会受到其它因素的制约,增长速度渐趋缓慢.第8页，共47页，星期日，2025年，2月5日引例：新技术的传播模型一项新技术如何在同类企业中推广?传播速度怎样？哪些因素影响传播速度？第9页，共47页，星期日，2025年