概率初步知识点总结
目录概率基本概念及性质离散型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布多维随机变量及其分布大数定律与中心极限定理随机过程简介
01概率基本概念及性质
在一定条件下，并不总是出现，但是可能出现，也可能不出现的现象称为随机事件。随机事件样本空间样本点随机试验所有可能结果组成的集合称为样本空间。样本空间中的每一个可能结果称为样本点。030201随机事件与样本空间
概率定义概率是度量随机事件发生可能性的一个数值，它总是在0到1之间，且所有样本点对应的概率之和为1。概率性质非负性、规范性、可列可加性。概率定义及性质
在另一个随机事件已经发生的条件下，某个随机事件发生的概率称为条件概率。如果两个随机事件的发生互不影响，则称这两个事件是相互独立的。条件概率与独立性独立性条件概率
全概率公式如果事件组满足完备事件组，则对任一事件B，有全概率公式计算其发生的概率。贝叶斯公式在已知一些条件下，某一事件发生的概率可以通过贝叶斯公式进行计算，它是一种由果推因的概率计算方法。全概率公式和贝叶斯公式
02离散型随机变量及其分布
取值有限或可数的随机变量，通常用大写字母$X,Y,Z,ldots$表示。离散型随机变量描述离散型随机变量取各个可能值的概率，通常用分布列或分布函数表示。概率分布离散型随机变量定义
随机变量只取两个值，通常用于描述二项事件的概率。两点分布在$n$次独立重复的伯努利试验中，成功的次数$X$服从参数为$n$和$p$的二项分布，记作$XsimB(n,p)$。二项分布描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布，通常用于排队论、库存管理等领域。泊松分布描述在多次独立重复的伯努利试验中，首次成功所需的试验次数，通常用于可靠性工程、生物统计学等领域。几何分布常见离散型随机变量分布
03计算方法根据离散型随机变量的概率分布，利用数学期望和方差的定义进行计算。01数学期望离散型随机变量的数学期望是其所有可能取值的概率加权和，反映了随机变量的“平均值”。02方差描述随机变量取值与其数学期望的偏离程度，方差越大，说明随机变量的取值越分散。数学期望与方差计算
协方差和相关系数分析协方差描述两个随机变量之间的线性相关程度，正值表示正相关，负值表示负相关，零值表示不相关。相关系数协方差除以两个随机变量标准差的乘积，用于消除量纲的影响，更加客观地反映两个随机变量之间的线性相关程度。应用场景在金融、经济、生物统计等领域中，经常需要分析两个或多个随机变量之间的相关关系，以预测未来趋势或制定决策方案。
03连续型随机变量及其分布
连续型随机变量定义及性质定义连续型随机变量是可以在某个区间内取无穷多个值的随机变量，其取值是连续的。性质连续型随机变量的取值充满了一个区间，无法一一列出，也不能具体确定在某个点上取什么值，是随机取定的。
在给定区间内，随机变量取任何值的概率都相等。均匀分布描述泊松过程中事件之间的时间间隔的概率分布。指数分布一种常见的连续型随机变量分布，其概率密度函数呈钟形曲线。正态分布常见连续型随机变量分布函数
根据随机变量的分布函数，直接利用公式求解概率密度函数。公式法通过绘制随机变量的分布函数图形，观察其变化趋势和规律，进而推断出概率密度函数。图形法利用数值计算的方法，如插值、拟合等，求解随机变量在某一区间的概率密度函数值。数值法概率密度函数求解方法
010203数学期望描述随机变量取值的平均水平，是概率加权下的“平均值”。方差描述随机变量取值与其数学期望的偏离程度，衡量数据的波动大小。矩母函数一种用于描述随机变量分布特征的函数，通过矩母函数可以方便地求出随机变量的各阶矩，进而研究其分布特性。同时，矩母函数在数学期望、方差等方面也有重要应用，如通过矩母函数可以求出随机变量的数学期望和方差等统计量。数学期望、方差和矩母函数应用
04多维随机变量及其分布
二维随机变量联合分布函数设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数F(x,y)=P{(X=x)交(Y=y)}称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。定义分布函数F(x,y)关于x,y都是单调不减的；0=F(x,y)=1，且F(x,y)关于x,y均右连续；对于任意实数x1x2,y1y2，有F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)=0。性质
二维随机变量(X,Y)中，X或Y自身的分布称为边缘分布。例如，FX(x)=P{X=x}是X的边缘分布函数。边缘分布在已知Y=y的条件下，X的条件分布函数定义为FX|Y(x|y)=P{X=x|Y=y}。类似地，可以定义在已知X=x的条件下，Y的条件分布函数。条件分布边缘分布与条件分布求解
独立性判断如果二维随机变量(X,Y)的联合分布函数可以表示为两个边缘分布函数的乘积，即F(x,y)=FX(x)FY(