顶点式变形题目及答案
一、单项选择题
1.将函数\(y=2x^2+4x+1\)变形为顶点式，正确的形式是：
A.\(y=2(x+1)^2-1\)
B.\(y=2(x-1)^2+1\)
C.\(y=2(x+1)^2+1\)
D.\(y=2(x-1)^2-1\)
答案：A
2.函数\(y=-3x^2+6x-2\)的顶点式是：
A.\(y=-3(x-1)^2-5\)
B.\(y=-3(x+1)^2+5\)
C.\(y=-3(x-1)^2+5\)
D.\(y=-3(x+1)^2-5\)
答案：C
3.将二次函数\(y=4x^2-12x+9\)变形为顶点式，正确的形式是：
A.\(y=4(x-3)^2\)
B.\(y=4(x+3)^2\)
C.\(y=4(x-1.5)^2\)
D.\(y=4(x+1.5)^2\)
答案：A
二、填空题
4.将函数\(y=5x^2-10x+1\)变形为顶点式，顶点坐标为\(\boxed{(1,-4)}\)。
5.函数\(y=-2x^2+8x-3\)变形为顶点式后，其顶点坐标为\(\boxed{(2,5)}\)。
三、解答题
6.将二次函数\(y=3x^2-6x+5\)变形为顶点式，并求出其顶点坐标。
解：首先，我们对二次函数\(y=3x^2-6x+5\)进行配方。将常数项5移到等式左边，得到\(y-5=3x^2-6x\)。接下来，我们需要在等式右边加上一个常数，使其成为完全平方的形式。这个常数是\((-6/2\times3)^2=3^2=9\)，所以我们在等式两边同时加上9，得到\(y-5+9=3x^2-6x+9\)，即\(y+4=3(x^2-2x+1)\)。现在我们可以将右边的式子写成完全平方的形式：\(y+4=3(x-1)^2\)。因此，顶点式为\(y=3(x-1)^2-4\)，顶点坐标为\((1,-4)\)。
7.已知二次函数\(y=-x^2+4x-3\)，求其顶点坐标。
解：首先，我们对二次函数\(y=-x^2+4x-3\)进行配方。将常数项-3移到等式左边，得到\(y+3=-x^2+4x\)。接下来，我们需要在等式右边加上一个常数，使其成为完全平方的形式。这个常数是\((4/2\times-1)^2=2^2=4\)，所以我们在等式两边同时加上4，得到\(y+3+4=-x^2+4x+4\)，即\(y+7=-(x^2-4x+4)\)。现在我们可以将右边的式子写成完全平方的形式：\(y+7=-(x-2)^2\)。因此，顶点式为\(y=-(x-2)^2+7\)，顶点坐标为\((2,7)\)。
四、应用题
8.一个抛物线形的桥梁，其方程为\(y=2x^2-8x+8\)。求该桥梁的最高点坐标。
解：首先，我们将桥梁的方程\(y=2x^2-8x+8\)变形为顶点式。将常数项8移到等式左边，得到\(y-8=2x^2-8x\)。接下来，我们需要在等式右边加上一个常数，使其成为完全平方的形式。这个常数是\((-8/2\times2)^2=4^2=16\)，所以我们在等式两边同时加上16，得到\(y-8+16=2x^2-8x+16\)，即\(y+8=2(x^2-4x+4)\)。现在我们可以将右边的式子写成完全平方的形式：\(y+8=2(x-2)^2\)。因此，顶点式为\(y=2(x-2)^2-8\)，顶点坐标为\((2,-8)\)。由于抛物线开口向上，所以桥梁的最高点坐标即为顶点坐标，即\((2,-8)\)。
9.一个二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图像经过点\((1,3)\)和\((3,3)\)，且\(a0\)。求该函数的顶点坐标。
解：由