第1页，共31页，星期日，2025年，2月5日方阵与行列式的区别方阵与行列式是两个不同的概念，n2个数按一定方式排成的n阶方阵是所确定的一个数．要清楚两者的含义数表.而n阶行列式是按行列式的定义注：及记号的区别.*第2页，共31页，星期日，2025年，2月5日2、方阵行列式的性质（1）设A，B均为n阶方阵（2）（3）推广：为同阶方阵,则特别地：*第3页，共31页，星期日，2025年，2月5日例1设解求*第4页，共31页，星期日，2025年，2月5日注：例2设其中是数,求及解一般地*第5页，共31页，星期日，2025年，2月5日4、退化矩阵：设A为n阶方阵,若则称A是非若则称A是退化如：∵∴A是非退化矩阵。退化的或非奇异的；的或奇异的。*第6页，共31页，星期日，2025年，2月5日第四节可逆矩阵与逆矩阵一、逆矩阵的定义二、逆矩阵判断及计算三、逆矩阵的性质第7页，共31页，星期日，2025年，2月5日一、逆矩阵的定义单位阵具有与数1在数的乘法中类似的性质.在矩阵乘法中，对于任意n阶方阵A都有类似地,引入逆矩阵的概念而对于任意数，若,则存在使得*第8页，共31页，星期日，2025年，2月5日对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使得成立，则矩阵A称为可逆矩阵，B称为A的定义：逆矩阵或逆阵。的逆矩阵是.由于所以是可逆矩阵,且例如,说明：零矩阵不是可逆矩阵。*第9页，共31页，星期日，2025年，2月5日同样,当都不为零时,由*第10页，共31页，星期日，2025年，2月5日是其逆矩阵.知对角矩阵是可逆矩阵,且一般地,若都不为零,则对角矩阵是对角矩阵的逆矩阵*第11页，共31页，星期日，2025年，2月5日例因为即所以A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵。同理A也是B的逆矩阵,A、B互为逆矩阵。*第12页，共31页，星期日，2025年，2月5日注：这是因为:如果方阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.所以A的逆矩阵是唯一的.今后将A的逆矩阵记作.B、C都是A逆矩阵,则有即若AB=BA=E,则*第13页，共31页，星期日，2025年，2月5日注1并不是A的-1次方，不能写成的形式。问题是否所有的方阵都可逆呢？否则，如何判别矩阵是否可逆？若A为可逆矩阵，如何求*第14页，共31页，星期日，2025年，2月5日二.矩阵可逆的判别、逆矩阵的求法方阵可逆的必要条件：命题：设A可逆,则它有逆矩阵使得从而若A可逆,则证：所以*第15页，共31页，星期日，2025年，2月5日伴随矩阵:称为矩阵A的伴随矩阵.设行列式的各所构成的如下矩阵个元素的代数余子式注：中第i行第j列处的元素是而不是问题：上述必要条件是不是充分的？即若,A一定可逆吗？*第16页，共31页，星期日，2025年，2月5日例1.设求A的伴随矩阵.解:*第17页，共31页，星期日，2025年，2月5日*第18页，共31页，星期日，2025年，2月5日例2:设A为n阶方阵,是A的伴随矩阵,计算*第19页，共31页，星期日，2025年，2月5日所以同理故有当时，我们有从而A可逆,且*第20页，共31页，星期日，2025年，2月5日这样我们得到下述定理：说明：定理:n阶方阵A是可逆的充分必要条件是即A是非退化的,而且该定理给出了判断一个矩阵是否可逆的一种方法，并且给出了求逆矩阵的一种方法，称之为伴随矩阵法。*第21页，共31页，星期日，2025年，2月5日例3：设判断A是否可逆？若可逆，求出解：因为所以A可逆，且*第22页，共31页，星期日，2025年，2月5日