试卷第=page11页，共=sectionpages33页
试卷第=page11页，共=sectionpages33页
北京市第三十五中学2025届高三下学期3月测试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则（????）
A． B． C． D．
2．（????）
A．1 B．2 C． D．5
3．在的展开式中，常数项是（????）
A． B． C． D．
4．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（????）
A． B．
C． D．
5．已知圆点P在直线上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是（????）
A．的最小值为2 B．最小时，弦AB所在直线的斜率为
C．最小时，弦AB长为 D．四边形面积的最小值为
6．定义在D上的函数，若满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（????）
A．
B．
C．
D．（表示不大于x的最大整数）
7．已知函数的图象的一部分如图①，则图②中的函数图象对应的函数是（????）
A． B．
C． D．
8．已知是平面上的点，是平面上的点，且，则“”是“”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：（为正常数，为原污染物数量）.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（????）
A．小时 B．小时 C．5小时 D．小时
10．如图，三棱锥P-ABC的体积为V，E，F分别是棱PB，PC上靠近点P的三等分点，G是棱AB上靠近点B的三等分点，H是棱AC上靠近点C的三等分点，则多面体的体积为（????）
A． B． C． D．
二、填空题
11．抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则．
12．已知双曲线的一条渐近线的斜率为2，则
13．已知函数满足，且在上恰好有一个最小值和一个最大值.则；若，则的值可以为.
14．生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2积分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡需从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，若连续打卡5天，则共获得积分为；若该会员从3月1日开始到3月20日，他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天可以是3月日．
15．太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：若一个函数的图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分，则称该函数为圆O的一个“太极函数”.
给出下列4个结论：
①函数可以是某个圆的“太极函数”
②正弦函数可以同时是无数个圆的“太极函数”
③存在不为常数函数的偶函数，使其为圆O的“太极函数”
④函数是“太极函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形
其中所有正确的结论的序号为
三、解答题
16．在△中，，.
(1)求证：△为等腰三角形；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一，求的值.
条件①：；
条件②：△的面积为；
条件③：边上的高为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，
(1)求证：平面；
(2)M为线段CD的中点，求二面角的余弦值.
18．为丰富校园文化生活，学校举办了乒乓球比赛．决赛采用三局二胜制的比赛规则（先赢得2局的队伍获胜并结束比赛）.已知甲、乙两队进入决赛，且根据以往比赛统计得知，在每局比赛中甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．
(1)若，求乙队以2：0获胜的概率；
(2)若，比赛结束时甲队获胜的局数记为X，求X的期望；
(3)若比赛打满3局的概率记为，请直接写出的最大值及此时p的值，并解释此时的实际意义.
19．已知椭圆E：的左右焦点分别为，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为的正方形．A为圆上一点（不在x轴上），B为椭圆E上一点，且满足轴，直线l与圆O切于点A，过作l的垂线，垂足为M．
(1)