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河南省天一大联考2025届高三下学期3月检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合，则（????）
A． B． C． D．
2．已知复数的虚部是实部的3倍，则（????）
A．4 B． C．3 D．
3．已知向量在上的投影向量为，且，则（????）
A． B． C． D．
4．已知是增函数，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
5．的展开式中常数项为（????）
A． B． C．5 D．10
6．已知奇函数的定义域为，且其图象是连续的曲线，若在区间上的值域为，在上的值域为，则实数的取值范围是（????）
A． B．
C． D．
7．有三串气球，每串气球的个数如图所示，某人每次用气枪射击一只气球，且每次都射击某一串气球中最下面的一只，直到所有的气球均被击破为止.假设此人每次射击均能击破一只气球，则其击破气球的不同顺序的种数为（????）
A．8 B．144 C．120 D．280
8．从正整数中取出100个不同的数组成递增的等差数列，这样的数列共有（????）
A．4555个 B．4654个 C．5445个 D．5500个
二、多选题
9．已知函数，则（????）
A．为偶函数
B．的值域为
C．不存在，使得
D．在区间上单调递减
10．已知等比数列不是递增数列，其前项和为，且，，成等差数列，，则（????）
A．
B．
C．数列的最大项为
D．数列的最小项为
11．已知抛物线与围成的封闭曲线如图所示，设的上、下顶点分别为，左、右顶点分别为，则下列结论正确的是（????）
A．恒关于点中心对称
B．若，则与的准线之间的距离为
C．若上一点的横坐标，则
D．若，且对于任意给定的常数，上任意一点均满足为定值，则的取值范围是
三、填空题
12．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则的离心率为.
13．已知，若当时，不等式恒成立，则的取值范围是.
14．已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和2，且体积不大于，若该棱台的外接球球心位于棱台内部（不含表面），则外接球表面积的取值范围是.
四、解答题
15．现有一个六个面分别标有数字的正方体骰子，连续抛掷两次，设分别为第一次和第二次抛掷骰子落地后朝上的点数，.
(1)求的概率；
(2)求的数学期望.
16．如图，四边形为圆的内接四边形，.
(1)若，求；
(2)若，且为等边三角形，求圆的面积.
17．如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，且，为的中点.
(1)证明：为平面与平面的交线；
(2)设，求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知椭圆与的短轴长相等，的离心率为，且左、右焦点分别为为上异于左、右顶点的一点，直线均过点.
(1)求的方程.
(2)若过点且与交于两点，过点且与交于两点，当的斜率之积为时，求的值.
(3)问：是否存在点，满足均与相切，且的斜率之积为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
19．已知函数有两个不同的零点.
(1)证明：；
(2)当时，求的最大值；
(3)若，数列满足，证明：.
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《河南省天一大联考2025届高三下学期3月检测数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
A
D
A
C
D
A
ABD
ACD
题号
11
答案
BC
1．B
【分析】由对数函数的单调性解不等式求集合，再应用集合的交运算求结果.
【详解】由，则，故，而，
所以.
故选：B
2．B
【分析】根据给定条件，结合复数的概念列式求出，进而求出复数的模.
【详解】由复数的虚部是实部的3倍，得，解得，
所以，.
故选：B
3．A
【分析】利用投影向量的定义及向量夹角公式计算得解.
【详解】依题意，向量在上的投影向量为，则，
由，得，于是，又，
所以.
故选：A
4．D
【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合二次函数单调性列式求解.
【详解】函数是增函数，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
5．A
【分析】求出展开式的通项，再结合积中的指数情况列式计算得解.
【详解】展开式的通项，
显然，则当，即时，，
所以的展开式中常数项为.
故选：A
6．C
【分析】根据题意有解出即可.
【详解】由题意有，即