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湖北省荆州中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数，则（????）
A． B． C． D．
2．在等差数列中，为其前n项和，若，则
A．60 B．75 C．90 D．105
3．函数的极值点是（???）
A．，0，1 B．，1
C．，， D．，
4．将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为（????）
A．15 B．35 C．56 D．70
5．如图，已知椭圆，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B，若∠F1AB＝90°，则此椭圆的离心率为（?????）
A． B． C． D．
6．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为
A．96 B．84 C．60 D．48
7．设数列的前项和为，若，且，则（????）
A． B． C． D．
8．已知函数，若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若五人并排站成一排，下列说法正确的是（????）
A．如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排或，最右端不能排，则不同的排法共有42种
C．不相邻的排法种数为72种
D．按从左到右的顺序排列的排法有120种
10．已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（????）
A．的最大值是
B．的最大值是
C．的最小值是
D．过点作曲线的切线，则切线方程为
11．已知函数，下列结论正确的是（????）
A．在区间单调递减，在区间单调递增
B．有极小值，且极小值是的最小值
C．设，若对任意，都存在，使成立，则
D．
三、填空题
12．过点且在坐标轴上的截距相等的直线的斜率是.
13．将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，不同的分配方案有种．（用数字作答）
14．已知数列、均为正项等比数列，、分别为数列、的前项积，且，则的值为.
四、解答题
15．已知函数
（1）求的图象在点处的切线方程；
（2）求在上的最大值与最小值.
16．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点，
(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
17．已知双曲线.
(1)过的直线与双曲线有且只有一个公共点，求直线的斜率；
(2)若直线与双曲线相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以线段为直径的圆过双曲线的左顶点C.试问：直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.
18．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n+1)(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：，求数列{bn}的通项公式；
(3)令(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.
19．英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处n（）阶导数都存在时，.注：表示的2阶导数，即为的导数，（）表示的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式.
(1)写出泰勒展开式（只需写出前4项）；
(2)根据泰勒公式估算的值，精确到小数点后两位；
(3)证明：当时，.
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《湖北省荆州中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
B
C
B
C
A
ABC
BD
题号
11
答案
ACD
1．C
【分析】根据题意，求得，令，即可求解.
【详解】由函数，
可得，
令，可得，所以.
故选：C.
2．B
【分析】由条件，利用等差数列下标和性质可得，进而得到结果.
【详解】，即，而，故选B.
【点睛】本题考查等差数列的性质，考查运算能力与推理能力，属于中档题.
3．B
【分析】根据函数极值点的定义求解即可.
【详解】由，则，
令，得或；令，得或，且，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，则函数的极值点为.
故选：B.
4．B
【分析】根据题意，结合“隔板法”，即可求解.
【详解】将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额，