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湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三下学期月考卷（八）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合，，则（???）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则（???）
A． B． C． D．125
3．在中，点是的中点，点在上，若，则（????）
A． B． C． D．
4．在的展开式中，的系数是（???）
A． B．4 C． D．12
5．已知，则（????）
A． B． C． D．
6．正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（????）
A． B． C． D．
7．设随机变量服从二项分布，则函数有零点的概率是（????）
A． B． C． D．
8．雅礼中学科技社成员设计的一款机器人，其手臂可以向前、向后、向左、向右、向上、向下六个方向自由伸展，每接到一次方向指令，它向指定方向移动一个单位．假设该机器人接到六个方向指令是等可能的，现向机器人随机发4次方向指令，它按指令依次做了4次伸展，其手臂回到原来位置的概率为（???）
A． B． C． D．以上都不对
二、多选题
9．下列说法正确的是（???）
A．线性相关系数越小，两个变量的线性相关性越弱
B．在线性回归模型中，决定系数越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
C．独立性检验方法不适用于普查数据
D．已知随机变量，若，则
10．设，，表示三个不同的平面，表示直线，则下列选项中，使得的是（???）
A．， B．，
C．， D．，
11．已知曲线，，则下列选项正确的是（???）
A．，使得曲线为圆
B．，曲线都关于点中心对称
C．当时，
D．当时，直线是曲线的一条渐近线
三、填空题
12．写出一个同时具有下列性质①②的函数．
①；②在上是增函数．
13．已知为双曲线的左焦点，是的右顶点，是上一点，且，，则的离心率为.
14．数列的前项和为，且满足，，则可能的不同取值的个数为．
四、解答题
15．如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
16．在中，角、、所对应的边分别为、、，已知．
(1)求角；
(2)若，所在平面内有一点满足，且平分，设．
（i）求面积表达式；
（ii）确定面积的取值范围．
17．椭圆的右焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，为坐标原点，，设直线的斜率为，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)若为椭圆上一点，且为的重心，求.
18．已知函数．
(1)若在区间上单调，求实数的取值范围；
(2)若函数有两个不同的零点．
（i）求实数的取值范围；
（ii）若恒成立，求证：．
19．已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局．
(1)如果约定先净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；
(2)如果约定先净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局．设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为，期望为．
①求甲获胜的概率；
②求．
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《湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三下学期月考卷（八）数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
C
B
B
C
D
BCD
BC
题号
11
答案
BCD
1．A
【分析】解分式不等式、求二次函数的值域确定集合，再由集合的交集运算求结果.
【详解】由，
，
所以.
故选：A.
2．B
【分析】据复数的模长结合乘法运算可得复数，再由共轭复数的概念和模长公式即可求解.
【详解】，则，则，则.
故选：B.
3．B
【分析】由题意，，根据点在上，即可列方程求解.
【详解】由题意点是的中点，所以，
又，所以，
解得，
又因为点在上，
所以，解得或（舍去）.
故选：B.
4．C
【分析】求出二项式的通项公式，由此令x的指数为2，求得r的值，即可求得答案.
【详解】由题意得的通项公式为，
令，
故的系数是，
故选：C
5．B
【分析】在等式两边平方，求出的值，再利用切化弦可求得的值.
【