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山东省重点高中2024-2025学年高二下学期4月大联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果函数在处的导数为1，那么（????）
A．1 B． C．2 D．4
2．的展开式中含的项是（????）
A． B． C． D．
3．某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（????）种排法？
A．72 B．36 C．24 D．12
4．在上的导函数为，则下列不等式成立的是（???）
A． B．
C． D．
5．甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（????）
A．420 B．460 C．480 D．520
6．现有15个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一、二班每班至少3个名额，三、四、五班每班至少2个名额，则名额分配方式共有（）
A．15种 B．35种 C．70种 D．125种
7．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（????）
A． B． C． D．
8．设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（????）
A． B．1 C．2 D．
二、多选题
9．函数，则（???）
A． B．的单调递增区间为
C．最大值为 D．有两个零点
10．下列等式正确的是（????）
A． B．
C． D．
11．已知函数在R上可导且，其导函数满足：，则下列结论正确的是（????）
A．函数有且仅有两个零点
B．函数有且仅有三个零点
C．当时，不等式恒成立
D．在上的值域为
三、填空题
12．若函数的图象在处的切线斜率为，则实数.
13．设，则．
14．已知直线是曲线和的公切线，则实数a=．
四、解答题
15．电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战役胜利做出重要贡献的故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
16．设，，已知
(1)求实数的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
17．已知函数，.
(1)若曲线在点处的切线平行于直线，求该切线方程；
(2)若，求证：当时，；
(3)若有且只有两个零点，求a的值.
18．已知函数.
(1)若函数不单调，求实数的取值范围；
(2)若曲线与直线有且仅有一个交点，求实数的取值范围.
19．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：．
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《山东省重点高中2024-2025学年高二下学期4月大联考数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
A
C
B
D
B
ABD
BCD
题号
11
答案
AC
1．B
【分析】由导数的定义求解即可.
【详解】，
故选：B
2．C
【分析】先写出二项式展开式的通项，令的指数位置等于可得的值，即可求解.
【详解】的展开式的通项公式为，则，得，所以含的项是．
故选：C.
3．A
【分析】先排唱歌节目，利用插空法排舞蹈节目即可.
【详解】先排三个唱歌节目这有：种情况，
然后四个空排两个舞蹈节目这有：种情况，
所以舞蹈节目不能相邻的情况有：情况.
故选：A.
4．A
【分析】根据条件构造函数，利用导数判断其单调性，从而得到不等关系，即可判断.
【详解】令，
则，
，，
在上单调递增，
，即，
.
故选：A.
5．C
【分析】根据给定条件，利用两个原理结合排列、组合应用列式计算即得.
【详解】求不相同的选择种数有两类办法：恰有3个学校所选研学基地不同有种方法，
4个学校所选研学基地都不相同有种方法，
所以不相同的选择种数有（种）.
故选：C
6．B
【分析】利用隔板法求解.
【详解】根据题意，先将15个名额分配给一班、二班每班2个，三、四、五班每班1个，还剩下8个名额，将剩下的8个名额进行分组，每组至少一人，
利用“隔板法”求解，8个有7个间隔，要分成组，7个间隔选4个即可，则有种