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山西省大同市部分学校2024-2025学年高三下学期5月质量检测数学试题（A）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数满足，则的虚部为（????）
A．1 B． C．i D．
2．已知全集，集合，，则（????）
A． B． C． D．
3．已知直线与，则“”是“”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知向量，，则在上的投影向量为（???）
A． B． C． D．
5．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴为（???）
A． B． C． D．
6．已知随机事件，的概率满足，，，则（????）
A．0.28 B．0.58 C．0.82 D．0.86
7．已知函数，其中为常数，若函数的图象如图所示，则（???）
??
A．的图象与坐标轴有三个交点
B．的图象的对称轴在轴左侧
C．关于的方程有两个不等实根
D．在区间上单调递增
8．已知空间向量，，，向量，且，则的最小值为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则（????）
A． B．的离心率为
C．的面积为 D．
10．设函数的定义域为，且，则（???）
A． B．
C．是奇函数 D．
11．18世纪东普鲁士的哥尼斯堡城，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如图）.有人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点.后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题——一笔画问题.下列图形不是一笔画的是（????）
A． B． C． D．
三、填空题
12．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是．
13．已知在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足，且，则周长的取值范围为．
14．已知函数，若存在实数，使得成立，则实数．
四、解答题
15．某超市经理为了解顾客对某商品甲、乙两款的喜爱程度是否与性别有关，在街头随机抽取了100人做调查研究，其中喜欢甲与乙的人数各占一半，男性占总人数的60%，且女性中有75%的人喜欢甲.
(1)补全列联表：
喜欢甲
喜欢乙
合计
男性
女性
合计
(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢哪款商品与性别有关联？
(3)该经理针对女性客户做了调查，在3·15活动当天，女性客户中有老年人162人，中年人108人，青年人54人，按分层抽样选出12人，又从这12人中随机抽出3人作为幸运顾客，这3人中的老年人人数设为随机变量，请求出的分布列与数学期望.
附：，其中.
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
16．已知数列的前项和为，且．
(1)证明：是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
17．已知函数有两个极值点，.
(1)求实数的取值范围；
(2)若，求的最大值.
18．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆与的准线相切．
(1)求的标准方程；
(2)已知是上的一点，是轴上的一点，若的最小值为4，求点的坐标；
(3)过点作直线与交于两点，且在两点处的切线交于点，证明：．
19．如图，圆锥的母线长为3，侧面积为，为底面半圆弧上一点，是线段上一点，点满足.
(1)试判断是否存在点，使得平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)在圆锥的内部（含表面上的点）作一个圆柱，且圆柱的其中一个底面在圆锥的底面上，记圆锥的体积为，圆柱的体积为，当圆柱的体积最大时，求的值.
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《山西省大同市部分学校2024-2025学年高三下学期5月质量检测数学试题（A）》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
A
C
D
C
D
B
ACD
ABC
题号
11
答案
BCD
1．B
【分析】根据题意，由复数的运算即可得到结果.
【详解】由题意可得，所以z的虚部为，
故选：B.
2．D
【分析】根据函数定义域的求法，计算出，再结合集合并集和补集概念，求出结果.
【详解】由题知，解得，
所以全集，
因为，，所以，
所以.
故选：D.
3．A
【分析】由，得到，求解即可判断.
【详解