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上海市大同中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．在中，，，，则.
2．若1弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所在的扇形面积等于．
3．若函数，的最小正周期是，则．
4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为．
5．对任意实数且，函数的图象经过定点P，且点P在角θ的终边上，则.
6．若，，则．
7．函数的定义域.
8．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，将线段绕点顺时针方向旋转至，则点的横坐标为.
9．中，角的对边分别是a、b、c，若，则的形状是.
10．已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是．
11．函数（）的最小值为
12．在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的取值范围为．
二、单选题
13．在△中，“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．的内角、、的对边分别为、、，已知，，则的面积为（????）
A． B． C． D．
15．已知函数，若函数在有6个不同零点，则实数a的取值范围是（????）
A． B．
C． D．
16．设函数，对于以下两个判断，下列说法正确的是（????）
①函数的一个周期为；
②函数的图象上存在点，使得其到点的距离为.
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
三、解答题
17．已知函数的图象的一条对称轴是直线．
(1)当时，求函数的值域；
(2)求函数在上单调减区间．
18．在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若，求的周长l的取值范围．
19．近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设.
(1)若，求矩形的面积；
(2)若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值.
20．设次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由，可得切比雪夫多项式，由，可得切比雪夫多项式.
(1)若切比雪夫多项式，求实数，，，的值；
(2)对于正整数时，是否有成立？
(3)已知函数在区间（-1，1）上有3个不同的零点，分别记为，，，证明：.
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《上海市大同中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题》参考答案
题号
13
14
15
16
答案
C
B
C
D
1．
【分析】由正弦定理、三角形内角和求得，结合三角形面积公式即可求解.
【详解】由正弦定理有，即，解得，
而，所以，所以，
所以.
故答案为：.
2．2
【分析】利用扇形的弧长公式和面积公式求解即可.
【详解】扇形的半径：
故扇形面积：.
故答案为：2
3．3
【分析】根据给定条件求出原函数的周期即可列式求解作答.
【详解】在函数中，，则函数的最小正周期，
因原函数的最小正周期是，于是得，解得，
所以.
故答案为：3
4．
【详解】试题分析：设等腰三角形的底边长为a，腰长为b，
∵等腰三角形的周长是底边长的5倍，∴，即，
∴．
考点：余弦定理．
【思路点睛】先设出等腰三角形的三个边长，通过已知等腰三角形的周长是底边长的5倍，化简出a与b的关系式，再利用余弦定理，化简求出顶角的余弦值．
5．/
【分析】函数过定点得到，再利用和差公式计算得到答案.
【详解】函数的图象经过定点，点P在角θ的终边上，故，
.
故答案为：
6．
【分析】根据同角的平方关系及二倍角公式可先求出，根据角的范围确定符号即可求解.
【详解】，
.
，，，.
故答案为：.
7．
【分析】根据真数大于零以及偶次根式被开方数非负列不等式，解得定义域.
【详解】由题意得
故答案为：
【点睛】本题考查函数定义域与解三角不等式，考查基本分析求解能力，属基础