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四川省成都市成华区某校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知数列，则是这个数列的（?????）
A．第17项 B．第18项 C．第19项 D．第20项
2．若，则（???）
A． B．6 C．3 D．-3
3．记等差数列的前项和为，若，则（????）
A． B． C． D．
4．已知函数，若，则（???）
A． B．1 C． D．e
5．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（????）
A． B． C． D．
6．在等比数列中，，是方程的根，则的值为．
A． B． C． D．或
7．已知为函数的导函数，且．若，则的取值范围是（???）
A． B．
C． D．
8．“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19大报告.为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中是沙漠（其余为绿洲），从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为万平方公里，则（????）参考数据：
A． B．
C．数列是等差数列 D．至少经过6年，绿洲面积可超过60%
二、多选题
9．已知曲线的方程为，为曲线上且不在轴上的一点，则下列说法正确的是（????）
A．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线
B．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是
C．当时，直线与曲线相交
D．若曲线表示离心率为的椭圆，且为其左，右焦点，则的周长为
10．已知数列满足，则下列结论正确的是（????）
A．
B．数列的前n项和为
C．数列的前100项和为50
D．数列的前30项和为345
11．如图，在边长为2的正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（???）
A．
B．的最小值为
C．三棱锥的体积是定值
D．不存在点P使直线与直线AP夹角的余弦值为
三、填空题
12．已知数列满足，，则.
13．德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为的小正方形后，保留靠角的4个，删去其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删去；以此方法继续下去……、经过n次操作后，共删去个小正方形.
??
14．已知函数与函数存在一条过原点的公共切线，则.
四、解答题
15．已知等差数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求数列的前项积.
16．如图，在长方体中，，，为的中点．
(1)证明：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
17．已知数列的前n项和为，且．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求数列的前n项和．
18．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆的右焦点为，设不过点B的动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且与互补为坐标原点.
①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；
②求面积的最大值.
19．在密码学领域，著名的欧拉函数应用在数据加密算法中，设是两个正整数，若的最大公约数是1，则称互素，对于任意正整数，欧拉函数是不超过且与互素的正整数的个数，记为，如：.
(1)求的值；
(2)设是两个素数，试用表示，并证明：；
(3)数列的通项公式为，设该数列的前项的和为，是否存在整数，使对任意正整数都成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由.
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《四川省成都市成华区某校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
B
A
C
D
D
BCD
AC
题号
11
答案
ABD
1．D
【分析】令即可计算求解.
【详解】令.
故由题可得是这个数列的第20项.
故选：D
2．C
【分析】由导数的定义可得；
【详解】.
故选：C.
3．C
【分析】利用等差数列的性质和求和公式可求得的值.
【详解】因为等差数列的前项和为，且，
则